A equação original é:
x¹⁰ = (x - 1)¹⁰
Subtraindo (x - 1)¹⁰ de ambos os lados:
x¹⁰ - (x - 1)¹⁰ = 0
Essa é uma diferença de potências de mesmo expoente. Não podemos fatorá-la diretamente como diferença de quadrados (a²-b²) como foi tentado na imagem. A fatoração correta utiliza a identidade:
aⁿ - bⁿ = (a - b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + aⁿ⁻³b² + ... + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹)
Aplicando essa identidade à nossa equação, com a = x e b = (x - 1):
x¹⁰ - (x - 1)¹⁰ = [x - (x - 1)][x⁹ + x⁸(x - 1) + x⁷(x - 1)² + ... + x(x - 1)⁸ + (x - 1)⁹] = 0
Simplificando o primeiro fator:
x - (x - 1) = x - x + 1 = 1
Então a equação se torna:
1 * [x⁹ + x⁸(x - 1) + x⁷(x - 1)² + ... + x(x - 1)⁸ + (x - 1)⁹] = 0
Para que o produto seja zero, o segundo fator deve ser zero. No entanto, este segundo fator é uma soma de termos, a maioria dos quais são positivos (exceto quando x for negativo, porém isso dependeria de x e x-1). É improvável que essa soma seja zero, exceto para valores específicos de x.
*Conclusão:*
A equação x¹⁰ = (x - 1)¹⁰ só pode ser verdadeira se x = (x - 1). Resolvendo isso, descobrimos que 0= -1, o que é uma contradição. Portanto, não existe solução real para essa equação. A única solução possível seria em um domínio mais complexo, mas exige
O problema apresentado envolve a fatoração de uma equação polinomial de oitavo grau. A equação já está parcialmente fatorada:
(2x - 1)(x⁴ - 2x³ + 4x² - 3x + 1)(5x⁴ - 10x³ + 10x² - 5x + 1) = 0
Para encontrar as raízes, precisamos resolver cada fator individualmente.
*Fator 1: 2x - 1 = 0*
Resolvendo para x:
2x = 1
x = 1/2 (Esta é a raiz x₁)
*Fatores 2 e 3: x⁴ - 2x³ + 4x² - 3x + 1 = 0 e 5x⁴ - 10x³ + 10x² - 5x + 1 = 0*
Esses dois fatores são polinômios de quarto grau que não são facilmente fatoráveis usando métodos tradicionais. A solução fornecida na imagem utiliza métodos mais avançados, provavelmente envolvendo a fórmula quadrática e/ou técnicas de resolução numérica para polinômios de grau superior. As soluções apresentadas são complexas (envolvem a unidade imaginária 'i').
*Resumo das raízes:*
A imagem fornece as seguintes raízes:
* x₁ = 1/2 (raiz real, obtida do primeiro fator)
* x₂,₃ = 1/2 ± (1/2)i√[1/5(5 - 2√5)] (raízes complexas, obtidas do segundo fator)
* x₄,₅ = 1/2 ± (1/2)i√[1/5(5 + 2√5)] (raízes complexas, obtidas do segundo fator)
* x₆,₇ = 1/2 ± (1/2)i√(5 - 2√5) (raízes complexas, obtidas do terceiro fator)
* x₈,₉ = 1/2 ± (1/2)i√(5 + 2√5) (raízes complexas, obtidas do terceiro fator)
*Observação:* Existe uma pequena discrepância entre as soluções apresentadas
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