Uma criança brinca com seu pai em um balanço. Em determinado momento, a criança se encontra a 1 m do chão, com uma velocidade de 0,5 m/s. Qual é a altura máxima que ela atingirá em relação ao chão? Considere que se trata de um sistema conservativo. Tome, ainda, g = 10 m/s².

 

Uma criança brinca com seu pai em um balanço. Em determinado momento, a criança se encontra a 1 m do chão, com uma velocidade de 0,5 m/s. Qual é a altura máxima que ela atingirá em relação ao chão? Considere que se trata de um sistema conservativo. Tome, ainda, g = 10 m/s².

Escolha uma opção:

a. 2 m

b. 1,05 m

c. 1,5 m

d. 5 m

e. 1,0125 m

Resolvendo o problema do balanço

Compreendendo o problema:

Temos uma situação em que a energia mecânica se conserva. Isso significa que a soma da energia cinética (devido ao movimento) e da energia potencial gravitacional (devido à altura) se mantém constante em todos os pontos da trajetória do balanço.

Dados do problema:

• Altura inicial (h₁): 1 m
• Velocidade inicial (v₁): 0,5 m/s
• Aceleração da gravidade (g): 10 m/s²
• Altura máxima (h₂): ?

Aplicando o princípio da conservação da energia mecânica:

Em um ponto qualquer da trajetória, a energia mecânica total (E) é dada por:

E = Energia cinética + Energia potencial gravitacional

E = (1/2) * m * v² + m * g * h

Onde:

• m = massa da criança (que se cancela nas equações)
• v = velocidade
• h = altura

No ponto inicial e no ponto mais alto:

• No ponto inicial, a criança possui energia cinética e potencial gravitacional.
• No ponto mais alto, a criança instantaneamente para (v = 0), possuindo apenas energia potencial gravitacional.

Igualando as energias mecânicas nos dois pontos:

(1/2) * m * v₁² + m * g * h₁ = m * g * h₂

Simplificando e isolando h₂:

h₂ = (v₁² / (2*g)) + h₁

Substituindo os valores:

h₂ = (0,5² / (2*10)) + 1

h₂ = 0,0125 + 1

h₂ = 1,0125 m

Resposta:

A altura máxima que a criança atingirá em relação ao chão é de 1,0125 m.

Portanto, a alternativa correta é a letra e.

Conclusão:

Utilizando o princípio da conservação da energia mecânica, conseguimos determinar a altura máxima atingida pela criança no balanço, sem a necessidade de conhecer a massa da criança. A energia cinética inicial é convertida em energia potencial gravitacional no ponto mais alto da trajetória.

Para resolver esse problema, podemos usar o princípio da conservação de energia. A energia mecânica total em um sistema conservativo é a soma da energia cinética e da energia potencial. 

A energia cinética (EC) é dada por:

\[

EC = \frac{1}{2}mv^2

\]

A energia potencial gravitacional (EP) é dada por:

\[

EP = mgh

\]

Onde:

- \(m\) é a massa (que se anula nas equações, já que não temos seu valor),

- \(v\) é a velocidade,

- \(g\) é a aceleração da gravidade (10 m/s²),

- \(h\) é a altura em relação ao chão.

No momento em que a criança está a 1 m do chão, sua altura inicial é 1 m e sua velocidade é 0,5 m/s. Podemos calcular a energia total nesse ponto.

1. *Calculando a energia cinética na altura de 1 m:*

\[

EC = \frac{1}{2}m(0,5)^2 = \frac{1}{2}m(0,25) = 0,125m

\]

2. *Calculando a energia potencial na altura de 1 m:*

\[

EP = mg(1) = mg

\]

3. *Energia total na altura de 1 m:*

A energia total (ET) no ponto onde a criança está a 1 m do chão é:

\[

ET = EC + EP = 0,125m + mg

\]

4. *Agora, quando a criança atinge a altura máxima, sua velocidade será 0 e toda a energia será potencial:*

Neste ponto, toda a energia total se transforma em energia potencial:

\[

ET = EP_{máx} = mg(h_{máx})

\]

5. *Igualando as energias:*

\[

0,125m + mg = mg(h_{máx})

\]

6. *Dividindo toda a equação por \(m\):*

\[

0,125 + g = g(h_{máx})

\]

7. *Substituindo o valor de \(g = 10 \text{ m/s}^2\):*

\[

0,125 + 10 = 10(h_{máx})

\]

8. *Resolvendo para \(h_{máx}\):*

\[

10,125 = 10(h_{máx}) \implies h_{máx} = \frac{10,125}{10} = 1,0125 \text{ m}

\]

Portanto, a altura máxima que ela atingirá em relação ao chão é *1,0125 m*.

A opção correta é:

*e. 1,0125 m*