Considerando o polinômio P(x) = x3 + 2x2 + 7x + k e Q(x) = x – 3, qual deve ser o valor de k para que P(x) seja divisível por Q(x)?
Resolvendo o problema de divisibilidade de polinômios
Entendendo o problema:
Para que um polinômio P(x) seja divisível por outro polinômio Q(x), o resto da divisão deve ser zero. Uma maneira de verificar isso é utilizando o Teorema do Resto.
Teorema do Resto:
Se dividirmos um polinômio P(x) por um binômio do tipo (x - a), o resto da divisão será igual a P(a).
Aplicando o teorema ao problema:
No nosso caso, queremos que P(x) seja divisível por Q(x) = x - 3. Portanto, para que o resto seja zero, devemos ter P(3) = 0.
Calculando P(3):
P(x) = x³ + 2x² + 7x + k P(3) = 3³ + 23² + 73 + k P(3) = 27 + 18 + 21 + k P(3) = 66 + k
Igualando P(3) a zero:
Para que P(x) seja divisível por Q(x), devemos ter:
66 + k = 0
Resolvendo a equação:
k = -66
Resposta:
Para que o polinômio P(x) seja divisível por Q(x), o valor de k deve ser -66.
Portanto, a alternativa correta é a última: –66.
Em resumo:
Utilizando o Teorema do Resto, transformamos o problema de divisibilidade de polinômios em uma simples equação. Ao calcular o valor de P(3) e igualá-lo a zero, encontramos o valor de k que garante a divisibilidade.
Observação: O Teorema do Resto é uma ferramenta fundamental para resolver problemas envolvendo divisibilidade de polinômios, simplificando os cálculos e permitindo encontrar o resto da divisão de forma rápida e eficiente.
Teorema do Resto: Uma Ferramenta Essencial na Divisão de Polinômios
O Teorema do Resto é um dos conceitos fundamentais na álgebra, especialmente quando lidamos com a divisão de polinômios. Ele nos permite encontrar o resto de uma divisão sem realizar todo o processo da divisão polinomial.
O que diz o Teorema do Resto?
O teorema afirma que:
- O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (x - a) é igual ao valor numérico de P(x) quando x = a.
Em outras palavras, para encontrar o resto da divisão de P(x) por (x - a), basta calcular P(a).
Em linguagem matemática:
Se P(x) é dividido por (x - a), então o resto é P(a).
Por que o Teorema do Resto é útil?
- Simplifica cálculos: Ao invés de realizar a divisão polinomial completa, podemos encontrar o resto rapidamente calculando o valor numérico do polinômio para um determinado valor de x.
- Verifica divisibilidade: Se o resto da divisão for zero, significa que o polinômio P(x) é divisível por (x - a), ou seja, (x - a) é um fator de P(x).
- Encontra raízes: As raízes de um polinômio são os valores de x que fazem o polinômio ser igual a zero. O Teorema do Resto nos ajuda a encontrar possíveis raízes, testando diferentes valores de a.
Exemplo
Exemplo: Qual o resto da divisão de P(x) = x³ + 2x² - 5x + 1 por (x - 2)?
Solução:
Pelo Teorema do Resto, o resto é P(2).
P(2) = 2³ + 22² - 52 + 1 = 8 + 8 - 10 + 1 = 7
Portanto, o resto da divisão é 7.
Aplicações do Teorema do Resto
- Verificação de raízes: Se P(a) = 0, então (x - a) é um fator de P(x) e a é uma raiz do polinômio.
- Fatoração de polinômios: Ao encontrar as raízes de um polinômio, podemos fatorá-lo em produtos de binômios lineares.
- Resolução de equações polinomiais: Encontrar as raízes de um polinômio é equivalente a resolver a equação polinomial P(x) = 0.
Em resumo:
O Teorema do Resto é uma ferramenta poderosa e simples de usar na álgebra. Ele nos permite obter informações importantes sobre a divisibilidade de polinômios e encontrar suas raízes de forma eficiente.
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