Considerando o polinômio P(x) = x3 + 2x2 + 7x + k e Q(x) = x – 3, qual deve ser o valor de k para que P(x) seja divisível por Q(x)?

 

FUNDATEC - 2023 - Analista Superior (CAU RS)/Sem Área

Considerando o polinômio P(x) = x³ + 2x² + 7x + k e Q(x) = x – 3, qual deve ser o valor de k para que P(x) seja divisível por Q(x)?

• 66.
  
• 33.
  
• 22.
  
• –22.
  
• –66.

Resolvendo o problema de divisibilidade de polinômios

Entendendo o problema:

Para que um polinômio P(x) seja divisível por outro polinômio Q(x), o resto da divisão deve ser zero. Uma maneira de verificar isso é utilizando o Teorema do Resto.

Teorema do Resto:

Se dividirmos um polinômio P(x) por um binômio do tipo (x - a), o resto da divisão será igual a P(a).

Aplicando o teorema ao problema:

No nosso caso, queremos que P(x) seja divisível por Q(x) = x - 3. Portanto, para que o resto seja zero, devemos ter P(3) = 0.

Calculando P(3):

P(x) = x³ + 2x² + 7x + k P(3) = 3³ + 23² + 73 + k P(3) = 27 + 18 + 21 + k P(3) = 66 + k

Igualando P(3) a zero:

Para que P(x) seja divisível por Q(x), devemos ter:

66 + k = 0

Resolvendo a equação:

k = -66

Resposta:

Para que o polinômio P(x) seja divisível por Q(x), o valor de k deve ser -66.

Portanto, a alternativa correta é a última: –66.

Em resumo:

Utilizando o Teorema do Resto, transformamos o problema de divisibilidade de polinômios em uma simples equação. Ao calcular o valor de P(3) e igualá-lo a zero, encontramos o valor de k que garante a divisibilidade.

Observação: O Teorema do Resto é uma ferramenta fundamental para resolver problemas envolvendo divisibilidade de polinômios, simplificando os cálculos e permitindo encontrar o resto da divisão de forma rápida e eficiente.

Teorema do Resto: Uma Ferramenta Essencial na Divisão de Polinômios

O Teorema do Resto é um dos conceitos fundamentais na álgebra, especialmente quando lidamos com a divisão de polinômios. Ele nos permite encontrar o resto de uma divisão sem realizar todo o processo da divisão polinomial.

O que diz o Teorema do Resto?

O teorema afirma que:

• O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (x - a) é igual ao valor numérico de P(x) quando x = a.

Em outras palavras, para encontrar o resto da divisão de P(x) por (x - a), basta calcular P(a).

Em linguagem matemática:

Se P(x) é dividido por (x - a), então o resto é P(a).

Por que o Teorema do Resto é útil?

• Simplifica cálculos: Ao invés de realizar a divisão polinomial completa, podemos encontrar o resto rapidamente calculando o valor numérico do polinômio para um determinado valor de x.
• Verifica divisibilidade: Se o resto da divisão for zero, significa que o polinômio P(x) é divisível por (x - a), ou seja, (x - a) é um fator de P(x).
• Encontra raízes: As raízes de um polinômio são os valores de x que fazem o polinômio ser igual a zero. O Teorema do Resto nos ajuda a encontrar possíveis raízes, testando diferentes valores de a.

Exemplo

Exemplo: Qual o resto da divisão de P(x) = x³ + 2x² - 5x + 1 por (x - 2)?

Solução:

Pelo Teorema do Resto, o resto é P(2).

P(2) = 2³ + 22² - 52 + 1 = 8 + 8 - 10 + 1 = 7

Portanto, o resto da divisão é 7.

Aplicações do Teorema do Resto

• Verificação de raízes: Se P(a) = 0, então (x - a) é um fator de P(x) e a é uma raiz do polinômio.
• Fatoração de polinômios: Ao encontrar as raízes de um polinômio, podemos fatorá-lo em produtos de binômios lineares.
• Resolução de equações polinomiais: Encontrar as raízes de um polinômio é equivalente a resolver a equação polinomial P(x) = 0.

Em resumo:

O Teorema do Resto é uma ferramenta poderosa e simples de usar na álgebra. Ele nos permite obter informações importantes sobre a divisibilidade de polinômios e encontrar suas raízes de forma eficiente.