PROBLEMA COM IDADES

Janildo Arantes abril 06, 2024


A soma das idades de dois irmãos é 8 anos. Daqui a dois anos a idade de uma delas será igual ao quadrado da outra, ou seja x + y = 8 e (x +2) = (y +2)².



Para resolver este problema, podemos usar um sistema de equações:

Equação 1: x + y = 8 (soma das idades)

Note que se eu quiser isolar o y eu subtraio o x em ambos os lados da igualdade e obtenho:
Equação 1.1:y = 8 - x
Entendido até aqui, dileto cara pálida?

Equação 2: (x + 2) = (y + 2)² (idade de uma em relação à outra daqui a dois anos)


Partamos para a solucionática concernente à nossa problemática:

Resolução:

  1. Substituição:

Substituímos a Equação 1.1 na Equação 2 para eliminar a variável y:

(x + 2) = ((8 - x) + 2)²

  1. Simplificação:

Expandimos o quadrado na Equação 2:

x + 2 = (10 - x)²

x + 2 = 100 - 20x + x²

  1. Reorganização:

Organizamos a equação em forma de equação do segundo grau:

100 - 20x + x² - x - 2 = x + 2 - x - 2

x² - 21 x + 98 = 0

x² - Sx + P = 0



  1. Fatoração:

Fatoramos a equação:

(x - 7)(x - 14) = 0

  1. Resolução das raízes:

As raízes da equação são x = 7 e x = 14.

  1. Teste das raízes:

Substituímos cada raiz na Equação 1 para verificar qual é válida:

  • Se x = 7, então 7 + y = 8 e y = 1.
  • Se x = 14, então 14 + y = 8 e y = -6 (idade negativa, inválida).

Conclusão:

A solução válida para o problema é x = 7 e y = 1.

Interpretação:

  • A idade do irmão mais velho é 7 anos.
  • A idade do irmão mais novo é 1 ano.

Verificação:

  • Daqui a dois anos, o irmão mais velho terá 9 anos.
  • Daqui a dois anos, o irmão mais novo terá 3 anos.
  • 9² = 81, que é igual ao quadrado de 3.

Observação:

É importante verificar se as raízes encontradas são válidas no contexto do problema, pois nem sempre todas as raízes de uma equação são soluções reais.

Aqui usei o Trinômio do Segundo Grau.


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Resolução usando o discriminante:

1. Definindo as variáveis:

  • x: idade do primeiro irmão
  • y: idade do segundo irmão

2. Sistema de equações:

  • Equação 1: x + y = 8 (soma das idades)
  • Equação 2: (x + 2)² = y + 2

3. Expressando y em função de x:

Da Equação 1, y = 8 - x.

4. Substituindo na Equação 2:

Substituindo y na Equação 2, obtemos:

(x + 2)² = (8 - x) + 2

5. Simplificando e reordenando:

Após simplificação, obtemos a equação do segundo grau:

x² - 21x + 98 = 0

6. Calculando o discriminante:

O discriminante (Δ) de uma equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 é dado por:

Δ = b² - 4ac

Neste caso, a = 1, b = -21 e c = 98:

Δ = (-21)² - 4 * 1 * 98

Δ = 441 - 392

Δ = 49

7. Analisando o valor do discriminante:

  • Δ > 0: duas raízes reais distintas.
  • Δ = 0: uma raiz real única (dupla).
  • Δ < 0: nenhuma raiz real (duas raízes complexas).

Como Δ = 49 > 0, a equação possui duas raízes reais distintas.

8. Encontrando as raízes:

Utilizando a fórmula de Bhaskara:

x = (-b ± √Δ) / 2a

x = (21 ± √49) / 2

x1 = (21 + 7) / 2 = 14

x2 = (21 - 7) / 2 = 7

9. Testando as raízes:

Substituindo cada raiz na Equação 1 para verificar qual é válida:

  • Se x = 14, então 14 + y = 8 e y = -6 (idade negativa, inválida).
  • Se x = 7, então 7 + y = 8 e y = 1.

10. Solução:

A solução válida para o problema é x = 7 e y = 1.

Interpretação:

  • A idade do irmão mais velho é 7 anos.
  • A idade do irmão mais novo é 1 ano.

Verificação:

  • Daqui a dois anos, o irmão mais velho terá 9 anos.
  • Daqui a dois anos, o irmão mais novo terá 3 anos.
  • 9² = 81, que é igual ao quadrado de 3, pois 3² = 9.

Observação:

O uso do discriminante nos permite determinar o número de raízes reais de uma equação do segundo grau sem precisar resolvê-la completamente.



JAMAL MALIK

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