0,99999... = 1 ? Três maneiras de mostrar que é verdade!

Prova de que 0,999999... = 1 usando três métodos:

1. Progressão geométrica (PG):

Considere o número 0,999999... e chame-o de x. Multiplicando x por 10, obtemos:

10x = 9,99999...

Subtraindo x de 10x, temos:

9x = 9

Dividindo ambos os lados por 9, chegamos a:

x = 1

2. Álgebra:

Seja x = 0,999999...

Subtraindo x de 1, obtemos:

1 - x = 0,000001...

Multiplicando ambos os lados por 10, temos:

10 - 10x = 0,00001...

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos:

9 = 10x

Dividindo ambos os lados por 9, chegamos a:

x = 1

3. Dízima periódica:

Prova de que 0,999999... = 1 através da fração geratriz de uma dízima periódica:

3.1. Fração geratriz de uma dízima periódica:

A fração geratriz de uma dízima periódica é uma fração que representa o valor decimal da dízima. Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, podemos usar a seguinte fórmula:

Fração geratriz = (Número decimal - Número truncado) / (10^n - 1)

Onde n é o número de dígitos no período.

3.2. Aplicação da fórmula à dízima 0,999999...:

No caso da dízima 0,999999..., o número truncado é 0 e o período é 9. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

Fração geratriz = (0,999999... - 0) / (10^9 - 1)

Fração geratriz = 1 / (10^9 - 1)

3.3. Simplificação da fração:

A fração 1 / (10^9 - 1) pode ser simplificada dividindo o numerador e o denominador por 9:

Fração geratriz = 1 / (10^9 - 1)/(10^9)

Fração geratriz = 10^9 / (9 * 111111111)

Fração geratriz = 10^9/999999999

3.4. Demonstração da igualdade a 1:

Observe que o número 111111111 é um número composto por 9 dígitos 1. Podemos reescrever a fração 1/9 / 111111111 da seguinte forma:

Fração geratriz = 1/9 / (1 + 1 + 1 + ... + 1) (9 vezes)

Fração geratriz = 1/9 / 1/9

Fração geratriz = 1/9 * 9/1

Fração geratriz = 1/1

Portanto, demonstramos que a fração geratriz da dízima 0,999999... é 1/1, o que significa que 0,999999... é igual a 1.

Observação:

Este método demonstra que 0,999999... e 1 são representações equivalentes do mesmo número real.

Portanto, demonstramos que 0,999999... é igual a 1 usando três métodos distintos: progressão geométrica, álgebra e dízima periódica.

JAMAL MALIK