Prova de que 0,999999... = 1 usando três métodos:
1. Progressão geométrica (PG):
Considere o número 0,999999... e chame-o de x. Multiplicando x por 10, obtemos:
10x = 9,99999...
Subtraindo x de 10x, temos:
9x = 9
Dividindo ambos os lados por 9, chegamos a:
x = 1
2. Álgebra:
Seja x = 0,999999...
Subtraindo x de 1, obtemos:
1 - x = 0,000001...
Multiplicando ambos os lados por 10, temos:
10 - 10x = 0,00001...
Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos:
9 = 10x
Dividindo ambos os lados por 9, chegamos a:
x = 1
3. Dízima periódica:
Prova de que 0,999999... = 1 através da fração geratriz de uma dízima periódica:
3.1. Fração geratriz de uma dízima periódica:
A fração geratriz de uma dízima periódica é uma fração que representa o valor decimal da dízima. Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, podemos usar a seguinte fórmula:
Fração geratriz = (Número decimal - Número truncado) / (10^n - 1)
Onde n é o número de dígitos no período.
3.2. Aplicação da fórmula à dízima 0,999999...:
No caso da dízima 0,999999..., o número truncado é 0 e o período é 9. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
Fração geratriz = (0,999999... - 0) / (10^9 - 1)
Fração geratriz = 1 / (10^9 - 1)
3.3. Simplificação da fração:
A fração 1 / (10^9 - 1) pode ser simplificada dividindo o numerador e o denominador por 9:
Fração geratriz = 1 / (10^9 - 1)/(10^9)
Fração geratriz = 10^9 / (9 * 111111111)
Fração geratriz = 10^9/999999999
3.4. Demonstração da igualdade a 1:
Observe que o número 111111111 é um número composto por 9 dígitos 1. Podemos reescrever a fração 1/9 / 111111111 da seguinte forma:
Fração geratriz = 1/9 / (1 + 1 + 1 + ... + 1) (9 vezes)
Fração geratriz = 1/9 / 1/9
Fração geratriz = 1/9 * 9/1
Fração geratriz = 1/1
Portanto, demonstramos que a fração geratriz da dízima 0,999999... é 1/1, o que significa que 0,999999... é igual a 1.
Observação:
Este método demonstra que 0,999999... e 1 são representações equivalentes do mesmo número real.
Portanto, demonstramos que 0,999999... é igual a 1 usando três métodos distintos: progressão geométrica, álgebra e dízima periódica.
JAMAL MALIK
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