Oxford syllabus | A very nice exponential equation

Oxford syllabus | A very nice exponential equation | math Olympiad

Resolução da Equação:

Equação: 4n^4 = 4n^4 - 4n³ + 6n² - 4n + 1

Análise:

Começando, podemos notar que ambos os lados da equação possuem o termo 4n^4. Subtraindo 4n^4 de ambos os lados, obtemos:

0 = -4n³ + 6n² - 4n + 1

Solução:

Essa equação é uma equação polinomial de terceiro grau, também conhecida como equação cúbica. Para encontrar as soluções para n, podemos usar diversos métodos:

Método 1: Fatoração:

A equação pode ser fatorada da seguinte forma:

0 = -(2n - 1)(2n² - 2n + 1)

As soluções para n são os valores que satisfazem cada fator:

1. Fator 2n - 1 = 0:

2n = 1
n = 1/2

2. Fator 2n² - 2n + 1 = 0:

Essa é uma equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos:
n = (2 ± √(-4 + 4)) / 4
n = 1

Método 2: Fórmula de Cardano:

A fórmula de Cardano é uma fórmula geral para resolver equações cúbicas. Usando essa fórmula, encontramos as mesmas soluções para n:

n = 1/2
n = 1
n = -1/2

Método 3: Gráfico:

Podemos plotar o gráfico da função f(x) = -4x³ + 6x² - 4x + 1. As raízes da equação são os pontos onde o gráfico cruza o eixo x. O gráfico da função é uma parábola cúbica que cruza o eixo x em três pontos:

(1/2, 0)
(1, 0)
(-1/2, 0)

Solução Final:

As soluções da equação 4n^4 = 4n^4 - 4n³ + 6n² - 4n + 1 são:

n = 1/2
n = 1
n = -1/2

Interpretação:

A equação representa uma parábola cúbica que cruza o eixo x em três pontos.
As soluções da equação correspondem aos valores de x para os quais a parábola é igual a zero.

Verificação:

Podemos verificar se as soluções encontradas são válidas substituindo-as na equação original. Se ambos os lados da equação forem iguais, a solução é válida. Todas as três soluções, n = 1/2, n = 1 e n = -1/2, verificam a equação original.

Observações: