Apostila de mecânica quântica

Efeito Compton

Mecânica quântica

Princípio da Incerteza

Introdução à mecânica quântica

Formulação matemática

Introdução

Mecânica clássica Antiga teoria quântica Interferência · Notação Bra-ket Hamiltoniano

 

Conceitos fundamentais

Estado quântico · Função de onda Superposição · Emaranhamento · Incerteza Efeito do observador Exclusão · Dualidade Decoerência · Teorema de Ehrenfest · Tunelamento

 

Experiências

Experiência de dupla fenda Experimento de Davisson–Germer Experimento de Stern-Gerlach Experiência da desigualdade de Bell Experiência de Popper Gato de Schrödinger Problema de Elitzur-Vaidman Borracha quântica

 

Representações

Representação de Schrödinger Representação de Heisenberg Representação de Dirac Mecânica matricial Integração funcional

 

Equação de Schrödinger Equação de Pauli Equação de Klein–Gordon Equação de Dirac

 

Interpretações

Copenhague · Conjunta Teoria das variáveis ocultas · Transacional Muitos mundos · Histórias consistentes Lógica quântica · Interpretação de Bohm Estocástica · Mecânica quântica emergente

 

Tópicos avançados

Teoria quântica de campos Gravitação quântica Teoria de tudo Mecânica quântica relativística Teoria de campo de Qubits

 

* Bell* Blackett* Bogolyubov* Bohm* Bohr* Bardeen* Born* Bose* de Broglie* Compton* Cooper* Dirac* Davisson * Duarte* Ehrenfest* Einstein* Everett* Feynman* Hertz* Heisenberg* Jordan* Klitzing* Kusch* Kramers* von Neumann* Pauli* Lamb* Laue* Laughlin* Moseley* Millikan* Onnes* Planck* Raman* Richardson* Rydberg* Schrödinger* Störmer* Shockley* Schrieffer* Shull* Sommerfeld* Thomson* Tsui* Ward* Wien* Wigner* Zeeman* Zeilinger* Zurek

 

Em física, o efeito Compton, ou espalhamento Compton, é o espalhamento de um fóton por uma partícula carregada, geralmente um elétron, que resulta em uma diminuição da energia (aumento do comprimento de onda) do fóton espalhado, tipicamente na faixa de raios-X ou de raios gama. Como a relação de dispersão para partícula livre exibe dependência com o quadrado de seu momento, E = P²/(2m), ao passo que a relação de dispersão para fótons é linear em relação ao momento, E=PC, a conservação simultânea do momento e da energia é praticamente inviável na interação com partícula livre, onde as referidas leis de conservação implicam a emissão de um segundo fóton a fim de serem satisfeitas.

Em materiais cristalinos um fônon pode tomar parte no processo ao invés de um fóton. Considerando-se o momento cristalino da partícula, a absorção completa do fóton torna-se viável, sendo importante em espectroscopia de fotoelétrons.

Há também o espalhamento Compton inverso, processo onde o fóton ganha energia pela interação com a matéria. A variação total no comprimento de onda, positivo ou negativo, é denominada variação Compton.

O Efeito Compton foi observado por Arthur Holly Compton em 1923, e posteriormente verificado por seu aluno Y. H. Woo nos anos seguintes.^[1] Compton ganhou o prêmio Nobel de Física em 1927 pela descoberta.^[2]

O efeito é importante por mostrar que a luz não pode ser explicada meramente como um fenômeno ondulatório. O Espalhamento Thomson, a clássica teoria de partículas carregadas espalhadas por uma onda eletromagnética, não poderia explicar uma variação no comprimento de onda. A luz deve agir como se fosse constituída de partículas para explicar o espalhamento de Compton. O experimento de Compton convenceu os físicos de que a luz pode agir como uma corrente de partículas cuja energia é proporcional à frequência.

A interação entre a alta energia dos fótons e elétrons resulta no elétron recebendo parte da energia (fazendo-o recuar), e um fóton contendo a energia restante sendo emitida numa direção diferente da original, sempre conservando o momento e a energia totais do sistema. Se o fóton ainda possui bastante energia, o processo pode ser repetido.

O espalhamento de Compton ocorre em todos os materiais e predominantemente com fótons de média-energia (entre 0.5 e 3.5 MeV). Ele é também observado com fótons de baixa energia; fótons de luz visível ou de frequências mais altas, por exemplo, junto ao efeito Fotoelétrico.

Fórmula da variação de Compton

Compton usou uma combinação de três fundamentais fórmulas representando os diversos aspectos da física clássica e moderna, combinando-os para descrever o procedimento quântico da luz^[3].

• Luz como uma partícula;
• Dinâmica Relativística;
• Trigonometria.

O resultado final nos dá a equação do espalhamento de Compton:

${\displaystyle �-{�}_0=\frac{ℎ}{{�}_{�}�}(1-\cos �)}$

Onde:

${\displaystyle {�}_0}$ é o comprimento de onda do fóton antes do espalhamento,

${\displaystyle �}$ é o comprimento de onda do fóton depois do espalhamento,

m_e é a massa do elétron,

${\displaystyle \frac{ℎ}{{�}_{�}�}}$ é conhecido como o comprimento de onda de Compton,

θ é o ângulo pelo qual a direção do fóton muda,

h é a constante de Planck, e

c é a velocidade da luz no vácuo.

Coletivamente, o comprimento de onda de Compton é ${\displaystyle 2,43\times {10}^{-12}�}$.

Dedução

A partir da conservação da energia, temos:

${\displaystyle {�}_{0�}+{�}_{0�}={�}_{�}+{�}_{�}}$

Onde ${\displaystyle {�}_{0�}}$ é a energia do fóton antes da colisão e ${\displaystyle {�}_{0�}}$ é a energia do elétron antes da colisão - sua massa de repouso. As variáveis sem o subíndice 0 indicam as energias depois da colisão.

Desse modo, Compton postulou que os fótons carregam o momento; portanto, a partir da conservação do momento, o momento das partículas deve ser similarmente relacionado por

${\displaystyle {\overrightarrow{�}}_{0�}+{\overrightarrow{�}}_{0�}={\overrightarrow{�}}_{�}+{\overrightarrow{�}}_{�}}$

onde ${\displaystyle �=ℎ�=��}$.

E assumindo que o elétron está inicialmente em repouso ${\displaystyle {\overrightarrow{�}}_{0�}=\overrightarrow{0}}$.

${\displaystyle {\overrightarrow{�}}_{�}={\overrightarrow{�}}_{0�}-{\overrightarrow{�}}_{�}}$

${\displaystyle {{\overrightarrow{�}}_{�}}^2={({\overrightarrow{�}}_{0�}-{\overrightarrow{�}}_{�})}^2}$

${\displaystyle {{\overrightarrow{�}}_{�}}^2={{\overrightarrow{�}}_{0�}}^2-2({\overrightarrow{�}}_{0�}\cdot {\overrightarrow{�}}_{�})+{{\overrightarrow{�}}_{�}}^2}$

${\displaystyle {\overrightarrow{�}}_{�}\cdot {\overrightarrow{�}}_{�}={\overrightarrow{�}}_{0�}\cdot {\overrightarrow{�}}_{0�}-2({\overrightarrow{�}}_{0�}\cdot {\overrightarrow{�}}_{�})+{\overrightarrow{�}}_{�}\cdot {\overrightarrow{�}}_{�}}$

Sabendo que o produto escalar de um vetor com ele mesmo é igual ao módulo ao quadrado, temos a seguinte expressão

${\displaystyle {{�}_{�}}^2={{�}_{0�}}^2-2({�}_{0�}{�}_{�}\cos �)+{{�}_{�}}^2}$

O termo ${\displaystyle \cos �}$ aparece porque o momento está em vetores espaciais, todos do qual ficam em um plano singular 2D, portanto o seu produto escalar é o produto dos módulos multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles.

Substituindo ${\displaystyle {�}_{0�}}$ por ${\displaystyle \frac{ℎ{�}_0}{�}}$ e ${\displaystyle {�}_{�}}$ por ${\displaystyle \frac{ℎ�}{�}}$, nós obtemos

${\displaystyle {{�}_{�}}^2=\frac{{ℎ}^2{�}_0^2}{{�}^2}+\frac{{ℎ}^2{�}^2}{{�}^2}-\frac{2{ℎ}^2{�}_0�\cos �}{{�}^2}}$

Agora nós completamos a parte da energia:

${\displaystyle {�}_{0�}+{�}_{0�}={�}_{�}+{�}_{�}}$

${\displaystyle ℎ{�}_0+{�}_{�}{�}^2=ℎ�+\sqrt{{�}_{�}^2{�}^2+{�}_{�}^2{�}^4}}$

Podemos isolar o ${\displaystyle {�}_{�}}$

${\displaystyle (ℎ{�}_0+{�}_{�}{�}^2-ℎ�{)}^2={�}_{�}^2{�}^2+{�}_{�}^2{�}^4}$

${\displaystyle {�}_{�}^2=\frac{(ℎ{�}_0+{�}_{�}{�}^2-ℎ�{)}^2-{�}_{�}^2{�}^4}{{�}^2}}$

Então nós temos duas equações para o ${\displaystyle {�}_{�}^2}$, podemos igualar as duas

${\displaystyle \frac{(ℎ{�}_0+{�}_{�}{�}^2-ℎ�{)}^2-{�}_{�}^2{�}^4}{{�}^2}=\frac{{ℎ}^2{�}_0^2}{{�}^2}+\frac{{ℎ}^2{�}^2}{{�}^2}-\frac{2{ℎ}^2{�}_0�\cos �}{{�}^2}}$

Podemos multiplicar os dois lados da equação por ${\displaystyle {�}^2}$

${\displaystyle (ℎ{�}_0+{�}_{�}{�}^2-ℎ�{)}^2-{�}_{�}^2{�}^4={ℎ}^2{�}_0^2+{ℎ}^2{�}^2-2{ℎ}^2{�}_0�\cos �}$

Agora simplificamos a expressão

${\displaystyle {ℎ}^2{�}_0^2+{ℎ}^2{�}^2-2{ℎ}^2{�}_0�+2ℎ({�}_0-�){�}_{�}{�}^2={ℎ}^2{�}_0^2+{ℎ}^2{�}^2-2{ℎ}^2{�}_0�\cos �}$

${\displaystyle -2{ℎ}^2{�}_0�+2ℎ({�}_0-�){�}_{�}{�}^2=-2{ℎ}^2{�}_0�\cos �}$

${\displaystyle ℎ{�}_0�-({�}_0-�){�}_{�}{�}^2=ℎ{�}_0�\cos �}$

${\displaystyle ℎ{�}_0�(1-\cos �)=({�}_0-�){�}_{�}{�}^2}$

Sabendo que $�=�/�$, substituímos na equação anterior

${\displaystyle ℎ\frac{�}{�}\frac{�}{{�}_0}(1-\cos �)=\left(\frac{�}{{�}_0}-\frac{�}{�}\right){�}_{�}{�}^2}$

${\displaystyle ℎ\frac{�}{�}\frac{�}{{�}_0}(1-\cos �)=\left(\frac{��}{{�}_0�}-\frac{�{�}_0}{�{�}_0}\right){�}_{�}{�}^2}$

${\displaystyle ℎ(1-\cos �)=\frac{�}{�}\frac{{�}_0}{�}\left(\frac{��}{�{�}_0}-\frac{�{�}_0}{{�}_0�}\right){�}_{�}{�}^2}$

${\displaystyle ℎ(1-\cos �)=\left(\frac{�}{�}-\frac{{�}_0}{�}\right){�}_{�}{�}^2}$

Desse modo temos o resultado desejado

${\displaystyle �-{�}_0=\frac{ℎ}{{�}_{�}�}(1-\cos �)}$

Dedução alternativa

Consideremos a situação ilustrada na figura abaixo, onde um feixe de fótons incide em um elétron e^- inicialmente em repouso, após a colisão, fóton e elétron são espalhados sob ângulos ${\displaystyle �}$ e ${\displaystyle �}$ respectivamente^[3].

A conservação do momento linear na direção vertical nos diz

${\displaystyle \underset{\text{Antes}}{\underbrace{{�}_{�}+{�}_{�}}}=\underset{\text{Depois}}{\underbrace{{�}_{�}+{�}_{�}}}\Rightarrow 0=-{�}_{�}\sin �+{�}_{�}\sin �}$

Assim

${\displaystyle \sin �=\frac{{�}_{�}}{{�}_{�}}\sin �}$

A conservação do momento linear na direção horizontal nos diz:

${\displaystyle \underset{\text{Antes}}{\underbrace{{�}_{�}+{�}_{�}}}=\underset{\text{Depois}}{\underbrace{{�}_{�}+{�}_{�}}}\Rightarrow {�}_{0�}+0={�}_{�}\cos �+{�}_{�}\cos �}$

A partir da equação conservação do momento na direção vertical, sabemos que

${\displaystyle \cos �=\sqrt{1-{\sin }^2�}=\sqrt{\frac{{{�}_{�}}^2-{{�}_{�}}^2{\sin }^2�}{{{�}_{�}}^2}}}$.

Assim

${\displaystyle {�}_{0�}={�}_{�}\cos �+{�}_{�}\sqrt{\frac{{{�}_{�}}^2-{{�}_{�}}^2{\sin }^2�}{{{�}_{�}}^2}}\Rightarrow {�}_{0�}={�}_{�}\cos �+\sqrt{{{�}_{�}}^2-{{�}_{�}}^2{\sin }^2�}}$

Sabemos que ${\displaystyle {�}_{0�}=\frac{{�}_0}{�}}$ e ${\displaystyle {�}_{�}=\frac{�}{�}}$ onde c é a velocidade da luz no vácuo e ${\displaystyle {�}_0}$ e ${\displaystyle �}$ são as energias do fóton antes e após a colisão, respectivamente.

Assim

${\displaystyle \frac{{�}_0}{�}=\frac{�}{�}\cos �+\frac{\sqrt{{{�}_{�}}^2{�}^2-{�}^2{\sin }^2�}}{�}\Rightarrow {{�}_{�}}^2{�}^2={�}^2+{{�}_0}^2-2�{�}_0\cos �}$

Usaremos agora a conservação da energia

${\displaystyle \underset{\text{Antes}}{\underbrace{{�}_{�}+{�}_0}}=\underset{\text{Depois}}{\underbrace{{�}_{�}+{�}_{�}}}\Rightarrow {�}_{�}{�}^2+{�}_{�}=�+\sqrt{{{�}_{�}}^2{�}^4+{{�}_{�}}^2{�}^2},}$

Substituindo o último resultado obtido a partir da conservação do momento linear, obtemos:

${\displaystyle {�}_{�}{�}^2+{�}_{�}=�+\sqrt{{{�}_{�}}^2{�}^4+{�}^2+{{�}_0}^2-2�{�}_0\cos �}\Rightarrow -2�{�}_0+2{�}_{�}{�}^2({�}_{�}-�)=-2�{�}_0\cos �,}$

Resolvendo essa equação para E temos

${\displaystyle �=\frac{1}{\frac{(1-\cos �)}{{�}_{�}{�}^2}+\frac{1}{{�}_{�}}}\Rightarrow \frac{1}{�}=\frac{(1-\cos �)}{{�}_{�}{�}^2}+\frac{1}{{�}_{�}},}$

Sabendo que

${\displaystyle �=ℎ�=\frac{ℎ�}{�}}$

Podemos substituir e teremos o seguinte resultado

${\displaystyle \frac{�}{ℎ�}=\frac{(1-\cos �)}{{�}_{�}{�}^2}+\frac{{�}_0}{ℎ�}}$

Simplificando, temos o resultado desejado

${\displaystyle �-{�}_0=\frac{ℎ}{{�}_{�}�}(1-\cos �)}$

Ver também

• Bremsstrahlung
• Efeito fotoelétrico
• Espectroscopia de fotoelétrons excitados por raios X

Referências

1. ↑ «Compton_scattering»
2. ↑ «The Nobel Prize in Physics 1927». Nobel Media AB 2014. Nobel Prize Organisation. Consultado em 4 de abril de 2018
3. ↑ 
   Ir para:
   ^a b Eisberg, Robert Martin; Resnick, Robert (1985). Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles (em inglês) 2 ed. New York: Wiley. OCLC 10779839

Bibliografia

• GRIFFTHS,D. J. Introduction to Electrodynamics,3ª edição,Cap.12,1999