Binómio de Newton

Em matemática, binómio de Newton ^{(português europeu)} ou binômio de Newton ^{(português brasileiro)} permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto, deve-se salientar que o Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade, o que Newton estudou foram regras que valem para $(a+b)^{n}$ quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.^[1]

Casos particulares do Binômio de Newton são:

{\left(x+y\right)}^{1}=x+y

{\left(x+y\right)}^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}

Notação e fórmula

O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:

{\left(x+y\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}

Os coeficientes ${n \choose k}$ são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

{n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},

onde

�

e

�

são inteiros,

k\leq n

e

x!=1\times 2\times \ldots x

é o fatorial de x.

O coeficiente binomial ${n \choose k}$ corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n elementos agrupados k a k.

O triângulo de Pascal

Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal.

O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais ${\begin{matrix}{n \choose k}\end{matrix}},$ onde $�$ representa o número da linha (posição vertical) e $�$ representa o número da coluna (posição horizontal).

A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do triângulo de Pascal seja igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1.

O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do triângulo de Pascal:

O triângulo de Pascal.

{n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}={n \choose k}

Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que os descreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII. O matemático persa Omar Caiam, pode ter sido o primeiro a descobrir.

Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:

{\left(x+y\right)}^{2}=x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+x^{0}y^{2}

{\left(x+y\right)}^{3}=x^{3}y^{0}+3x^{2}y^{1}+3x^{1}y^{2}+x^{0}y^{3}

{\left(x+y\right)}^{4}=x^{4}y^{0}+4x^{3}y^{1}+6x^{2}y^{2}+4x^{1}y^{3}+x^{0}y^{4}.

O triângulo de Pascal

Para resolvermos binômios do tipo (x+y)ⁿ é possível utilizar o triângulo de pascal, onde n é a linha reapresentada no triângulo (na imagem indo de 0 à 14). Para iniciar o processo utilizamos o primeiro (x) termo da esquerda para a direita:

(x+y)ⁿ= __xⁿ___+__x^(n-1)__x^(n-2)+ ...+__x^(n-n)__

Agora seguindo o mesmo procedimento para o segundo termo (y), porém da direita para a esquerda:

(x+y)ⁿ=__xⁿ y^(n-n)+__x^(n-1) y¹+__x^(n-2) y²+ ...+__x^(n-n) yⁿ.

Para sabermos os coeficientes deste binômio basta olhar, no triângulo de Pascal, a n-ésima linha e colocá-los na ordem em que se encontra.

Para isso, segue o seguinte exemplo:

${\left(x+y\right)}^{3}=x^{3}y^{0}+3x^{2}y^{1}+3x^{1}y^{2}+x^{0}y^{3}$

Podemos ver que os coeficientes correspondem aos da linha 3 do triângulo de Pascal.

Neste exemplo podemos verificar que os coeficientes são, consecutivamente, os valores da linha 3 do triângulo de Pascal.

Sendo assim teríamos para cada linha do triângulo de Pascal um binômio^[2]:

n								(x+y)ⁿ
0	1							1
1	1	1						x+y
2	1	2	1					x²+2xy+y²
3	1	3	3	1				x³+3x²y+3xy²+y³
4	1	4	6	4	1			x⁴+4x³y+6x²y²+4xy³+y⁴
5	1	5	10	10	5	1		x⁵+5x⁴y+10x³y²+10x²y³+5xy⁴+y⁵
6	1	6	15	20	15	6	1	x⁶+6x⁵y+15x⁴y²+20x³y³+15x²y⁴+6xy⁵+y⁶

Demonstração do teorema do Binômio de Newton

Antes de começar, vale lembrar que:

\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{k-1}

(1)

Sejam x, y elementos de um anel comutativo( xy=yx) e n um inteiro não-negativo.

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}

Demonstraremos por indução matemática.

Base:

n=0~,\qquad (x+y)^{0}=1={0 \choose 0}x^{0}y^{0}

n=1~,\qquad (x+y)^{1}=x+y={1 \choose 0}x^{1}y^{0}+{1 \choose 1}x^{0}y^{1}

Recorrência:

Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1:

Da hipótese de indução:

(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k},

Por distributividade de produto sob a soma:

(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y^{n+1}

Que pode ser reescrito usando (1):

(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k-1}x^{n-k+1}y^{k-1}+y^{n+1}

(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left\lbrack {{n} \choose {k}}+{{n} \choose {k-1}}\right\rbrack x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}

Usando a formula do triângulo de Pascal:

(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{{n+1} \choose k}~x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}

Reagrupando o somatório:

(x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}~x^{n-k+1}y^{k}

E segue o resultado.

Aplicações

O binómio de Newton pode ser usado para derivar diversas expressões matemáticas, através da escolha adequada de x e y. Por exemplo:

$0=(1-1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}$
$2^{n}=(1+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}$
$2^{2n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{2n \choose k}$
$1=[x+(1-x)]^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}B_{k}^{n}(x),$ onde $B_{k}^{n}(x)$ são os polinómios de Bernstein.