Teorema da Expansão binomial

 Expansão binomial

Quero Bolsa


Matemática - Manual do Enem


Marcus ViniciusPublicado por Marcus Vinicius







O teorema ou expansão binomial, também conhecido com Binômio de Newton, é uma maneira de se expandir o binômio
(+)
através de números binomiais.

Binómio de Newton



Em matemáticabinómio de Newton (português europeu) ou binômio de Newton (português brasileiro) permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto, deve-se salientar que o Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade, o que Newton estudou foram regras que valem para  quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.[1]

Casos particulares do Binômio de Newton são:

Notação e fórmula

teorema do binômio de Newton se escreve como segue:

Os coeficientes  são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

 onde  e  são inteiros,  e  é o fatorial de x.

O coeficiente binomial  corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n elementos agrupados k a k.

O triângulo de Pascal

Ver artigo principal: Triângulo de Pascal

Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal.

triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais  onde  representa o número da linha (posição vertical) e  representa o número da coluna (posição horizontal).

A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do triângulo de Pascal seja igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1.

O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do triângulo de Pascal:

O triângulo de Pascal.

Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que os descreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII. O matemático persa Omar Caiam, pode ter sido o primeiro a descobrir.

Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:

O triângulo de Pascal

Para resolvermos binômios do tipo (x+y)n é possível utilizar o triângulo de pascal, onde n é a linha reapresentada no triângulo (na imagem indo de 0 à 14). Para iniciar o processo utilizamos o primeiro (x) termo da esquerda para a direita:

(x+y)n= __xn___+__x(n-1)__x(n-2)+ ...+__x(n-n)__

Agora seguindo o mesmo procedimento para o segundo termo (y), porém da direita para a esquerda:

(x+y)n=__xn y(n-n)+__x(n-1) y1+__x(n-2) y2+ ...+__x(n-n) yn.

Para sabermos os coeficientes deste binômio basta olhar, no triângulo de Pascal, a n-ésima linha e colocá-los na ordem em que se encontra.

Para isso, segue o seguinte exemplo:

Podemos ver que os coeficientes correspondem aos da linha 3 do triângulo de Pascal.

Neste exemplo podemos verificar que os coeficientes são, consecutivamente, os valores da linha 3 do triângulo de Pascal.

Sendo assim teríamos para cada linha do triângulo de Pascal um binômio[2]:

n(x+y)n
011
111x+y
2121x2+2xy+y2
31331x3+3x2y+3xy2+y3
414641x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4
515101051x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5
61615201561x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6

Demonstração do teorema do Binômio de Newton

Antes de começar, vale lembrar que:

 (1)

Sejam xy elementos de um anel comutativo( xy=yx) e n um inteiro não-negativo.

Demonstraremos por indução matemática.

Base:
Recorrência:

Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1:

Da hipótese de indução:

Por distributividade de produto sob a soma:

Que pode ser reescrito usando (1):

Usando a formula do triângulo de Pascal:

Reagrupando o somatório:

E segue o resultado.

Aplicações

O binómio de Newton pode ser usado para derivar diversas expressões matemáticas, através da escolha adequada de x e y. Por exemplo:

  •  onde  são os polinómios de Bernstein.
Recomendado:











Postar um comentário

0 Comentários