Questão do ITA: comprimento da diagonal do pentágono (Via teorema de Ptolomeu)

O comprimento da diagonal de um pentágono regular medindo 1 unidade é igual à raiz positiva de:

(A) x2+x−2=0${\displaystyle { }^{}}$
(B) x2−x−2=0${\displaystyle { }^{}}$
(C) x2−2x+2=0${\displaystyle { }^{}}$
(D) x2+x−1=0  ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="text-transform:\; math-auto;"> </span>}}$
(E) x2−x−1=0${\displaystyle {\mathrm{<br>}}^{}\mathrm{<br>}}$

Usando o Teorema de Ptolomeu é imediato.

xx=x.1+1.1��=�.1+1.1

Assim temos,

x² – x – 1 = 0

Letra E

Pela incomensurabilidade do pentágono regular (a incomensurabilidade de duas grandezas se refere ao fato de sua razão não poder ser expressa por números racionais tem-se que a razão entre a diagonal e o lado do pentágono=[1+–√5 ]/2

Logo, nesse problema:

Temos:

d/l = [1+–√5 ]/2

Como l=1,

d = [1+–√5 ]/2, que é raiz de x² – x -1 = 0, uma vez que, por Bhaskara:

[1+√5 ]/2 ou [1-√5 ]/2

porém só é valido a primeira: [1+–√5 ]/2

Portanto, ALTERNATIVA E

l=lado do pentágono
d= diagonal do pentágono