PRUDUTOS NOTÁVEIS | SOMA DE DOIS CUBOS (SINAIS + - +)

"Para entender a soma de dois cubos, é importante compreender que utilizamos o produto de dois polinômios para facilitar as operações e simplificações. No trabalho com polinômios, torna-se necessário conhecer a forma de fatorá-los, e encontrar a fatoração é buscar uma maneira de representar o polinômio como o produto de dois ou mais polinômios. Saber aplicar a fatoração desse polinômio é essencial para simplificar situações-problema que envolvam a soma de dois cubos. Existe uma fórmula utilizada para realizar essa fatoração."

"Como é feita a fatoração da soma de dois cubos?

A fatoração de um polinômio é bastante comum na Matemática e seu objetivo é expressar esse polinômio como o produto de dois ou mais polinômios. A partir dessa representação, é possível realizar simplificações e resolver situações que envolvam, nesse caso, a soma de dois cubos. Para realizar a fatoração, é necessário conhecer a fórmula da soma de dois cubos.

Fórmula da soma de dois cubos

Considere a como o primeiro termo e b como o segundo termo e que eles podem ser qualquer número real, então temos que:

a³ + b³ = (a+b)(a² – ab +b²)

Analisando o segundo membro da equação, vamos mostrar que, ao aplicar a propriedade distributiva, podemos encontrar o primeiro membro.

(a+b)(a² – ab +b²) = a³ – a²b +ab² +a²b – ab² +b³

 Note que os termos em vermelho e os termos em azul são respectivamente opostos, logo sua soma é igual a zero, restando:

(a+b)(a² – ab +b²) = a³ + b³

Para realizar a fatoração do cubo da diferença, vamos aplicar a fórmula e encontrar os termos a e b, conforme o exemplo a seguir.

Exemplo 1:

Resolver x³ + 27.

Reescrevendo a equação, sabemos que 27=3³, então vamos representar por: x³ + 3³ → soma de dois cubos, em que x é o primeiro termo e 3 é o segundo termo.

Realizando a fatoração utilizando a fórmula, temos que:

x³ + 3³ = (x+3)(x² – x·3 +3²)

x³ + 3³ = (x+3)(x² – 3x +9)

Portanto, a fatoração de x³ + 27 é igual a (x+3)(x² – 3x +9).

Exemplo 2:

Resolver 8x³ + 125.

Reescrevendo a equação, sabemos que 8x³ = (2x)³ e que 125=5³, então vamos representar por: (2x)³ + 5³ → soma de dois cubos, em que 2x é o primeiro termo e 5 é o segundo termo.

Realizando a fatoração utilizando a fórmula, temos que:

(2x)³ + 5³ = (2x +5) ((2x)² – 2x·5+5²)

(2x)³ + 5³ = (2x+5) (4x² – 10x +25)

Portanto, a fatoração de 8x³ + 125 é igual a (2x+5)(4x² – 10x +25)."

Veja mais sobre "Soma de dois cubos" em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dois-cubos.htm 

A soma de dois cubos, a3 + b3, é igual ao produto do fator (a + b) pelo fator (a2 – ab + b2). 

a3 + b3 = (a + b) . (a2 - ab + b2)