"Para entender a soma de dois cubos, é importante compreender que utilizamos o produto de dois polinômios para facilitar as operações e simplificações. No trabalho com polinômios, torna-se necessário conhecer a forma de fatorá-los, e encontrar a fatoração é buscar uma maneira de representar o polinômio como o produto de dois ou mais polinômios. Saber aplicar a fatoração desse polinômio é essencial para simplificar situações-problema que envolvam a soma de dois cubos. Existe uma fórmula utilizada para realizar essa fatoração."
"Como é feita a fatoração da soma de dois cubos?
A fatoração de um polinômio é bastante comum na Matemática e seu objetivo é expressar esse polinômio como o produto de dois ou mais polinômios. A partir dessa representação, é possível realizar simplificações e resolver situações que envolvam, nesse caso, a soma de dois cubos. Para realizar a fatoração, é necessário conhecer a fórmula da soma de dois cubos.
Fórmula da soma de dois cubos
Considere a como o primeiro termo e b como o segundo termo e que eles podem ser qualquer número real, então temos que:
a³ + b³ = (a+b)(a² – ab +b²)
Analisando o segundo membro da equação, vamos mostrar que, ao aplicar a propriedade distributiva, podemos encontrar o primeiro membro.
(a+b)(a² – ab +b²) = a³ – a²b +ab² +a²b – ab² +b³
Note que os termos em vermelho e os termos em azul são respectivamente opostos, logo sua soma é igual a zero, restando:
(a+b)(a² – ab +b²) = a³ + b³
Para realizar a fatoração do cubo da diferença, vamos aplicar a fórmula e encontrar os termos a e b, conforme o exemplo a seguir.
Exemplo 1:
Resolver x³ + 27.
Reescrevendo a equação, sabemos que 27=3³, então vamos representar por: x³ + 3³ → soma de dois cubos, em que x é o primeiro termo e 3 é o segundo termo.
Realizando a fatoração utilizando a fórmula, temos que:
x³ + 3³ = (x+3)(x² – x·3 +3²)
x³ + 3³ = (x+3)(x² – 3x +9)
Portanto, a fatoração de x³ + 27 é igual a (x+3)(x² – 3x +9).
Exemplo 2:
Resolver 8x³ + 125.
Reescrevendo a equação, sabemos que 8x³ = (2x)³ e que 125=5³, então vamos representar por: (2x)³ + 5³ → soma de dois cubos, em que 2x é o primeiro termo e 5 é o segundo termo.
Realizando a fatoração utilizando a fórmula, temos que:
(2x)³ + 5³ = (2x +5) ((2x)² – 2x·5+5²)
(2x)³ + 5³ = (2x+5) (4x² – 10x +25)
Portanto, a fatoração de 8x³ + 125 é igual a (2x+5)(4x² – 10x +25)."
Veja mais sobre "Soma de dois cubos" em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dois-cubos.htm
A soma de dois cubos, a3 + b3, é igual ao produto do fator (a + b) pelo fator (a2 – ab + b2).
a3 + b3 = (a + b) . (a2 - ab + b2)
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