Binômio de Newton

Conhecemos como binômio de Newton a técnica desenvolvida por Newton para calcular o polinômio que é resultado de uma potenciação de um binômio com um expoente natural.

O binômio de Newton é um binômio qualquer elevado a um expoente natural. O nome é uma homenagem ao matemático Isaac Newton, que fez grandes contribuições para a Matemática, como o desenvolvimento de uma fórmula para calcular potências envolvendo binômios.

Newton percebeu que, ao resolver potências do tipo (a + b) n, existe uma regularidade, tornando possível o desenvolvimento de um método para encontrar o polinômio que é solução dessa operação. Além do desenvolvimento do binômio em si, é possível também encontrar o termo geral de um binômio.

Fórmula do binômio de Newton

Chamamos de binômio um polinômio que possui dois termos. Quando calculamos uma potência desse binômio, estamos calculando um binômio de Newton. O cálculo de uma potência de binômio é bastante comum em problemas da Física, Química e da própria Matemática, por isso é de grande importância compreender a fórmula desenvolvida por Newton.

Para entender a fórmula, calcularemos as potências de um binômio com expoentes menores. Quanto maior o expoente, mais difícil fica realizar esse cálculo.

(x+y)0 = 1

(x + y)1 = x + y

(x + y)2 = (x+y) (x+y) = x² + 2xy + y²

(x+y)³ = (x+y) (x+y)² = (x+y) (x² + 2xy + y²) = x³ + 3x²y + 3xy² +y³

É possível perceber que quanto maior for o expoente, maior será a solução do binômio de Newton e, por isso, torna-se conveniente utilizar a fórmula:

Exemplo:

Calcule (a + 2)4

Primeiro substituiremos na fórmula x = a, y = 2 e n = 4

Os coeficientes de cada termo são as combinações, conhecidas também como termos binomiais. Note que o expoente do primeiro termo, no caso a, começou em 4 no primeiro e foi decrescendo a cada termo. Já o expoente do segundo termo, no caso 2, começou em 0 e foi crescendo até chegar a 4.

Para calcular o coeficiente, utilizamos a fórmula da combinação:

Calculando as combinações, temos que:

Cálculo de combinações para determinar coeficientes

Substituindo na fórmula, encontramos o seguinte polinômio:

(a+2)4=1 · a4 + 4 · a3 · 2 + 6 · a2 · 22 + 4 · a · 23 + 1 · 24

Agora calcularemos as potências e as multiplicações:

(a+2)4=a4 + 8a3 + 6 · a2 · 4 + 4 · a · 8 + 1 · 16

(a+2)4=a4 + 8a3 + 24a2 + 32a + 16

Triângulo de Pascal

Uma propriedade importante do binômio de Newton é a sua relação com o triângulo de Pascal. Os coeficientes dos termos do binômio de Newton são iguais aos números encontrados nas linhas do triângulo.

Exemplo de triângulo de Pascal

Com o triângulo de Pascal, torna-se desnecessário realizar o cálculo das combinações que acompanham cada um dos termos. Por exemplo, se o binômio for elevado a quatro, os coeficientes serão os números que aparecem na linha quatro do triângulo de Pascal.

É importante lembrar também que, no triângulo de Pascal, começamos a contar as linhas e as colunas a partir da linha 0 e da coluna 0. Utilizando o triângulo de Pascal, calcularemos o seguinte binômio de Newton:

Exemplo:

(a + b)6

Primeiro substituímos na fórmula:

Agora, em vez de calcular cada uma das combinações, basta olhar na linha 6 do triângulo de Pascal, que é composta pelos números 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Então, substituiremos cada uma das combinações para esses valores, respeitando a ordem:

(a+b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6

(a+b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

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Termo geral do binômio de Newton

Algumas vezes, em vez de desenvolver todo o binômio de Newton, precisamos encontrar só um termo em específico. Para isso, existe a fórmula do termo geral do binômio de Newton.

p+1 → termo a ser encontrado

x → primeiro termo do binômio

y → segundo termo do binômio

n → expoente do binômio

Exemplo:

Dado o binômio (a+3)10, encontre o 4º termo do polinômio.

Como queremos o 4º termo, então:

p + 1 = 4

p = 4 – 1

p = 3

Além disso, temos que:

a → primeiro termo

3 → segundo termo

n→ 10

Então, substituindo na fórmula, temos que:

Substituição de itens em fórmula para cálculo de quarto termo de polinômio

Calculando o binômio:

T4 = 120 · x7 · 27

T4 = 3.240

Exercícios resolvidos

Questão 1 - O coeficiente do termo a5 no resultado do binômio de Newton (a+2)8 é igual a:

A) 120

B) 224

C) 448

D) 560

E) 654

Resolução

Alternativa C.

Dados:

a → primeiro termo

2 → segundo termo

n → 8

Como queremos somente um termo em específico, utilizaremos a fórmula do termo geral, mas, antes, é necessário encontrar o valor de p.

Sabemos que:

an – p = a5

Logo, igualando os expoentes, temos que:

n – p = 5

Mas n = 8, então:

8 – p = 5

8 – 5 = p

3 = p

p = 3

Agora que conhecemos todos os valores necessários, substituiremos na fórmula:

Substituindo itens em fórmula do binômio de Newton para calcular termo

Vamos calcular a combinação:

Por fim:

T4 = 56 · x5 · 8

T4 = 448

Questão 2 - A soma dos coeficientes do polinômio encontrado ao calcular a potência (a + b)5 é:

A) 12

B) 24

C) 64

D)16

E) 32

Resolução

Alternativa E.

Sabemos que, nesse caso, como os dois termos são algébricos, os coeficientes são apenas os números encontrados na quinta linha do triângulo de Pascal.

linha 0: 1

linha 1: 1 1

linha 2: 1 2 1

linha 3: 1 3 3 1

linha 4: 1 4 6 4 1

linha 5: 1 5 10 10 5 1

A soma dos termos da linha 5 é:

1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32