x ³ + x² = 12

 x ³ - x² = 12

Vamos lá?

Subtraindo 12 em cada membro da equação

x ³ = x²  -12 = 12 - 12

x ³ + x²  -12 = 0

Vamos transformar, agora, o 12 em duas potências (uma cúbica e uma quadrática)

x³ +  x² - 8 - 4 = 0

x³ - x² - 2³ - 2² = 0

(x³ - 2³ ) + (x² - 2²) = 0

Temos uma diferença entre dois cubos e uma diferença entre dois quadrados:

Diferença de cubos

A diferença entre dois cubos, a³ - b³, é igual ao produto do fator (a - b) pelo fator (a² + ab + b²).

A diferença de quadrados é uma das principais maneiras de se fatorar uma expressão algébrica. Como o próprio nome diz, ela é aplicada em uma diferença, isto é, existir uma operação de subtração entre dois termos que estão elevados ao quadrado. Tal processo de fatoração também é um dos mais simples de se efetuar.

(x³ - 2³ ); onde  (a³-b³) = (a - b) *(a² + ab + b²).

Dessa forma:

(x³ - 2³ ) = (x -2) (x² + 2x +4)

(x² - 2²); onde (a² - b²) = (a + b) (a -b)

Dessa forma:

(x² - 2²) = (x -2) (x + 2)

Remontando a equação:

 

(x -2) (x² + 2x +4) + (x-2) (x + 2) = 0

Note que (x -2) é fator comum.

Dessa forma temos:

(x -2) (x² + 2x +4 +x + 2) = 0

(x -2) (x² + 3x +6) = 0

Temos um produto nulo.

Iremos, então, utilizar a lei do anulamento do produto

A resposta é dada por uma lei simples, mas muito útil, chamada lei do anulamento do produto: Se o produto de dois valores for igual a zero, então pelo menos um dos valores tem de ser zero.

Primeiro fator:

(x -2) = 0

x = 2 (Primeira raiz encontrada)

Segundo fator: 

(x² + 3x + 6) = 0

x² + 3x + 6 = 0

Calculando o discriminante (DELTA)

∆ = 3² - 4•1•6

∆ = - 15 x = [-3 ± √(-15)]/(2•1) x = [-3 ± √(-15)]/2 = [-3 ± √(15)i]/2 ∴, as raízes da equação são: x1 = 2; x2 = [-3 + √(15)i]/2; e x3 = [-3 - √(15)i]/2.

Outra forma de resolver:

Solução x³ + x² = 12 x²(x + 1) = 2² • 3 Se x² = 2², então x = ± 2. Se x + 1 = 3, então x = 2. Verificando x = 2, obtém-se: 2³ + 2² = 12. Verificando x = -2, resulta: (-2)³ + (-2)² ≠ 12. Portanto, x = 2 é uma raíz da equação. Algoritmo de Briot-Ruffini: x³ + x² = 12 x³ + x² - 12 = 0 1•x³ + 1•x² + 0•x - 12 = 0 1. 1. 0. -12 | 2 1. 3. 6. | 0 Então, (x - 2)(x² + 3x + 6) = 0 x² + 3x + 6 = 0 ∆ = 3² - 4•1•6 ∆ = - 15 x = [-3 ± √(-15)]/(2•1) x = [-3 ± √(-15)]/2 = [-3 ± √(15)i]/2 Portanto, as raízes da equação são: x = 2; x = [-3 + √(15)i]/2; e x = [-3 - √(15)i]/2.