Teorema de Poncelet : Demonstração e aplicação.

Em geometria, o teorema do fechamento de Poncelet, também conhecido como porismo de Poncelet, afirma que sempre que um polígono está inscrito em uma seção cônica e circunscreve outra, o polígono deve fazer parte de uma família infinita de polígonos que estão todos inscritos e circunscrevem os mesmos dois cônicas.

Teorema de Poncelet: 

Dadas duas elipses disjuntas e uma dentro da outra, se existe um polígono circunscrito à elipse interna e inscrito à externa, de n-lados, então qualquer ponto pertencente a elipse externa é vértice de algum polígono com as mesmas características.

Jean Victor Poncelet

Jean Victor Poncelet nasceu em Metz, no ano de 1788. Tendo-se destacado como estudante quando cursava a Escola Politécnica de Metz, Poncelet tornou-se conhecido como excelente professor de Matemática, sendo convidado a servir como engenheiro no exército napoleônico. Em 1812, Poncelet lutou com as forças francesas na Rússia, caindo prisioneiro, Durante os dezoito meses de cativeiro, começou a escrever um de seus trabalhos mais notáveis: a Geometria Projetiva, teoria em que Desargues e Pascal tinham dado os primeiros passos, no século XVII.

Em 1814, Poncelet retornou à França e, a partir de 1815, começou a publicar suas criações nos "Anais da Matemática". Seus trabalhos iniciais versavam sobre os polígonos inscritos e circunscritos a uma cônica.

O grande trabalho de Poncelet, "Ensaio sobre as projetivas das seções cônicas", só apareceu em 1820 e foi melhorado e reproduzido dois anos depois com o título "Tratado das propriedades projetivas das figuras". Nestas obras, Poncelet observou que certas propriedades das figuras se mantém constantes, quando as figuras sofrem deformações por projeções. Poncelet foi ainda o criador da teoria da polaridade e do princípio da dualidade, base sobre a qual outros matemáticos como De Morgan, Whitehead e Russel desenvolveram posteriormente seus trabalhos. Finalmente, Poncelet atingiu o máximo de sua criação quando estabeleceu o conceito de razão dupla ou anarmônica. Com base nesta descoberta, posteriormente, Klein conseguiu unificar as geometrias numa só, criando a pan-geometria.

Poncelet faleceu em 1867 na mesma cidade onde nascera.

Fonte: Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi - Atual Editora