(PUC – SP) Se cos 2x = 0,2, então tg² x é igual a:

(PUC – SP) Se cos 2x = 0,2, então tg² x é igual a:

a) ¹/₂

b) ²/₃

c) ³/₄

d) ⁴/₃

e) 2 

Partindo da ideia do arco duplo, podemos reescrever cos 2x como cos² x – sen² x. Sendo assim, temos:

cos 2x = 0,2

Como: cos² x – sen² x = cos 2x

cos² x – sen² x = 0,2

cos² x = 0,2 + sen² x

Mas pela relação fundamental da trigonometria, temos que sen² x + cos² x = 1. Substituindo o valor anteriormente encontrado para cos² x nessa equação, teremos:

sen² x + cos² x = 1

sen² x + (0,2 + sen² x) = 1

2.sen² x = 1 – 0,2

2.sen² x = 0,8

sen² x = 0,8
               2

sen² x = 0,4

No momento, não é interessante extrair a raiz de sen² x. Vamos agora substituir o valor encontrado na equação trigonométrica cos² x = 0,2 + sen² x:

cos² x = 0,2 + sen² x

cos² x = 0,2 + 0,4

cos² x = 0,6

Como já identificamos os valores de sen² x e de cos² x, vamos determinar o valor de tg² x:

tg² x = sen² x
            cos² x

tg² x = 0,4
            0,6

tg² x = 4
           6

tg² x = 2
           3

Portanto, a alternativa correta é a letra b.