Solve the Problem. a + b = 1; Equação 1 a² + b² = 2, Equação 2 a^11 + b^11 = ?; Equação 3

 

a + b = 1; Equação 1

a² + b² = 2, Equação 2

a^11 + b^11 = ?; Equação 3

Vamos lá?

* (Equação 1)²

(a + b)² = 1²

a² + 2ab + b² = 1

Temos

a² + b²) + 2ab = 1

Como a² + b² = 2, Equação 2

Temos, agora:

2 + 2ab = 1

2 + 2ab - 2 = 1 - 2

2ab = -1

2ab/2 = - 1/2

ab = -1/2

* (Equação 1)³

(a + b)³ = 1³

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 1

a³ + b³ + 3ab (a+b) = 1

Agora perceba que (a+ b)= 1 e ab = -1/2

Temos, então.

a³ + b³ + 3(-1/2) (1) = 1

a³ + b³ - 3/2 = 1

a³ + b³ = 5/2; Equação 4

* Equação 4 * Equação 2

(a³ + b³) (a² +b²) = 5/2 * 2

(a³ + b³) (a² +b²) = 5

a³*a² + a³*b² + b³*a² * b³*b² = 5

a^5 + b^5 + (a²b²)(a+b) = 5

Mas ab=-1² e a+b = a

a^5 + b^5 + (1/4)(1) = 5

a^5 + b^5 +1/4 = 5

a^5 + b^5  = 5 - 1/4

a^5 + b^5  = 19/4; Equação 5

* (Equação 4)²

(a³ + b³) = (5/2)²

a^6 + 2a³b³ + b^6 = 25/4

a^6 + b^6 + 2(ab)³  = 25/4 

a^6 + b^6 + 2(-1/2)³  = 25/4 

a^6 + b^6 + 2(-1/8)  = 25/4 

a^6 + b^6 + 2(-1/8)  = 25/4 

a^6 + b^6  -1/4  = 25/4 

a^6 + b^6  = 25/4 +1/4

(a^6 + b^6 ) = 26/4

(a^6 + b^6 ) = 13/2; Equação 6

E agora, o Gran Finale

* Equação 6 * Equação 5

(a^5 + b^5)  = 19/4; Equação 5

(a^6 + b^6 ) = 13/2; Equação 6

(a^5 + b^5) * (a^6 + b^6 ) = (19*4) * (13/2)

a^11 + a^5*b^6 + b^5*a^6 + b^11 = 247/8

a^11  + b^11 + (a^5*b^5)(a+b) = 247/8

a^11  + b^11 + (ab^5) (a+b) = 247/8

a^11  + b^11 + (-1/2)^5 (1) = 247/8

(a^11  + b^11) + (-1/32)  = 247/8

(a^11  + b^11)   = 247/8 + 1/32

(a^11  + b^11)   = (988+1)/32

(a^11  + b^11)   = 989/32 (Resposta)

CQD.

Jamal Malik