Olympiad Level Algebra Challenge | Russian Math Olympiad Problem | Algebra Math | Advanced Math

a³ + b³ = 7; 

a² + b² + a + b + ab = 4

Vamos lá?

Artifícios.

i) a + b = x

ab = y

(a + b)² = x²

a² + 2ab + b² = x²

a² + 2y + b² = x²

a² + b² = x² - 2y

ii) a³ + b³ = 7

(a + b) (a² - 2ab + b²) = 7

x (a² + b² - y) = 7

x (x² - 2y  - y) = 7

x ( x² - 3y) = 7 (ii)

iii) a² + b² + a + b + ab = 4

x² - 2y + x + y = 4

x² + x - y = 4

x² + x - 4 = y

y = (x² + x - 4 ) (ii)

Substituindo (ii) e (i) temos

x ( x² - 3(x² + x - 4 )) = 7 

x ( x² - 3x² - 3x + 12) =7

x ( -2x² - 3x + 12) = 7

-2x³ - 3x² + 12x = 7

-2x³ - 3x² + 12x - 7 = 0

Como 

-2 - 3 +12 - 7 = 0

 1 é raiz.

(x - 1) (-2x² - 5x +7)

Observe o 7 e transforme o -5 em -7 + 2.

(x - 1) (-2x² - 7x + 2x +7) =0

(x - 1) [x (-2x - 7) +(2x +7)] = 0

(x -1) (x -1) (2x +7) = 0

Raízes:

x - 1 = 0; x1 = 1

x - 1 = 0; x2 = 1

2x + 7 = 0; x3 = -7/2

Para x = 1 (Raiz dupla)

y = ?

y = x² + x - 4 

y1 = y2 = 1 + 1 - 4 = -2

Para x = -7/2

y = 49/4 - 7/2 - 4

y3 = 49/4 - 14/4 - 16/4 = 19/4

(x, y) = (1, -2)

 a + b = 1

ab = -2

(x, y) = (-7/2, 19/4)

a + b = -7/9

ab = 19/4

====================

t² - tx + y = 0

Para x = 1

t² - t - 2 = 0

para x = -7/2

t² +7x/2 + 19/4 = 0

=========================

Para x = 1

t² - t - 2 = 0

t² - 2t + t - 2 = 0

( t+1) (t - 2) = 0

t = 2

t = -1

(a, b) = (2, 1), (-1, 2)

Para x = -7/2

t² +7x/2 + 19/4 = 0

4t² +14x + 19 = 0

Δ = b² – 4 ac

Δ = 14² - 4+4*19 = 196 - 304 = -108

√-108 =  6 i √ 3 

Sem solução real