DESTAQUE | O maior túnel rodoviário do Brasil fica no Estado de São Paulo, na rodovia Tamoios, que liga o Litoral norte ao Vale do Paraíba. Ele possui 5 555 m de extensão, e seu vazamento (escavação), retirou cerca de 1,7 milhões de metros cúbicos de rocha.

O maior túnel rodoviário do Brasil fica no Estado de São Paulo, na rodovia Tamoios, que liga o Litoral norte ao Vale do Paraíba. Ele possui 5 555 m de extensão, e seu vazamento (escavação), retirou cerca de 1,7 milhões de metros cúbicos de rocha.

Aproximando sua seção transversal como um semicírculo e, considerando uma extensão retilínea, qual deveria ser a altura do túnel no ponto mais alto?

Considere pi = 3,14.

Altura do Túnel Rodoviário da Tamoios

Dados:

Comprimento do Túnel (L): 5.555 m
Área da Seção Transversal (A): Desconhecida
Volume de Rocha Escavada (V): 1.700.000 m³
Pi (π): 3,14

Objetivo:

Calcular a altura do túnel no ponto mais alto (H).

Solução:

Aproximação da Seção Transversal:

Consideramos a seção transversal do túnel como um semicírculo.

Cálculo da Área da Seção Transversal:

A área (A) de um semicírculo é dada por:

A = (π * R²)/2

Onde R é o raio do círculo.

Relação entre Área e Volume:

O volume (V) escavado é igual à área da seção transversal (A) multiplicada pelo comprimento do túnel (L):

V = A * L

Substituindo e Isolando R:

Substituindo a equação da área na equação do volume, obtemos:

V = ((π * R²) / 2) * L

Isolando R, encontramos:

R = √(2 * V / (π * L))

Cálculo do Raio:

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

1.700.000= pi r² * h²/2

r² = 3.400.000/(5555*3,14)

r² = 194

r = 14 m

Cálculo da Altura:

A altura (H) no ponto mais alto é igual ao raio (R):

H = R

r = 14 m

Resultado:

A altura do túnel no ponto mais alto é de aproximadamente 127,2 metros.

Observações:

Esta é uma estimativa, considerando uma seção transversal semicircular.
A seção transversal real do túnel pode ter uma forma ligeiramente diferente.
O valor de Pi (π) utilizado foi uma aproximação.

Considerações Adicionais:

O túnel da Tamoios é uma obra de engenharia impressionante.
Sua construção envolveu desafios técnicos e logísticos significativos.
O túnel representa um importante avanço para a infraestrutura de transporte do Brasil.

Resposta: aproximadamente 14,28 m.

A questão pede para aproximarmos a seção do túnel como meia circunferência. Considerando seu volume, será meio cilindro.

O volume de um cilindro é dado pela fórmula:

V = Ab * h

V = pi r² * h

Em que r é o raio da semicircunferência. A altura do ponto mais alto do túnel é, portanto, r.

Como o túnel é metade de um cilindro, seu volume é:

V = pi r² * h²/2

V é o volume de 1,7 milhões m³ e h é sua extensão, de 5 555 m.

1.700.000= pi r² * h²/2

r² = 3.400.000/(5555*3,14)

r² = 194