(Enem 2016) Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio R, com volume dado

(Enem 2016) Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio R, com volume dado por

4 dividido por 3 espaço pi espaço. parêntese esquerdo R parêntese direito ao cubo

4piR³/³

Observou-se que haverá redução de custos se forem utilizados frascos cilíndricos com raio da base R/3 , cujo volume será dado por pi(R/3)² 8h $reto pi espaço parêntese esquerdo reto R dividido por 3 parêntese direito ao quadrado espaço. espaço reto h$ , sendo h a altura da nova embalagem.

Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de R) deverá ser igual a

a) 2R.

b) 4R.

c) 6R.

d) 9R.

e) 12R.

Resposta: 12R.

O volume do frasco esférico é:

Ve = 4piR³/3

$V com e subscrito igual a numerador 4. pi. R ao cubo sobre denominador 3 fim da fração$

O volume do frasco cilíndrico é:

Vc = pi R h²

$V com c subscrito igual a pi. r ao quadrado. h$

Como estes volumes devem ser iguais, fazemos:

Ve = Vc

4piR³ /3= pir²h

Mas

r = R/3

4piR³ /3= pi(R²/9)h

Simplificando (dividindo por pi)

4R³/3 = (R²/9)h

Simplificando (dividindo por R²)

4R/3 = h/9

Multiplicando em "x"

9*4R=3h

Simplificando (dividindo por3)

12R= h

$V com e subscrito igual a V com c subscrito numerador 4 espaço. espaço pi espaço. espaço R ao cubo sobre denominador 3 fim da fração igual a pi espaço. espaço abre parênteses R sobre 3 fecha parênteses ao quadrado espaço. espaço h numerador 4 espaço. espaço pi espaço. espaço R ao cubo sobre denominador 3 fim da fração igual a pi espaço. espaço numerador R ao quadrado sobre denominador 3.3 fim da fração espaço. espaço h$

Simplificando os termos semelhantes:

$numerador 4 espaço. espaço diagonal para cima risco reto pi espaço. espaço reto R à potência de diagonal para cima risco 3 fim do exponencial sobre denominador diagonal para cima risco 3 fim da fração igual a diagonal para cima risco reto pi espaço. espaço numerador reto R à potência de diagonal para cima risco 2 fim do exponencial sobre denominador diagonal para cima risco 3.3 fim da fração espaço. espaço reto h 4 reto R igual a 1 terço espaço. espaço reto h 4 reto R espaço. espaço 3 espaço igual a espaço reto h 12 reto R espaço igual a espaço reto h$

A altura do frasco cilíndrico é de 12R.