Trigonometria || (Cefet/MG - 2017) Em um triângulo retângulo, a tangente de um de seus ângulos agudos é 2. Sabendo-se que a hipotenusa desse triângulo é 5, o valor do seno desse mesmo ângulo é

(Cefet/MG - 2017) Em um triângulo retângulo, a tangente de um de seus ângulos agudos é 2. Sabendo-se que a hipotenusa desse triângulo é 5, o valor do seno desse mesmo ângulo é

a) 4/5

b) SQRT (5)/4

b) SQRT (5)/5

d) 2 SQRT (5)/5

$a parêntese direito espaço 4 sobre 5 b parêntese direito espaço numerador raiz quadrada de 5 sobre denominador 4 fim da fração c parêntese direito numerador raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração d parêntese direito espaço numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração$

Alternativa correta: d) 2 SQRT (5)/5

$d parêntese direito espaço numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração$ .

A tangente de um ângulo é igual a razão entre os seus catetos, assim:

TG a = CO/CA

Vamos chamar o cateto oposto ao ângulo de b e o cateto adjacente de c, então podemos escrever a seguinte relação:

TG a = 2 = b/c

Logo, concluímos que b = 2c. Se aplicarmos o teorema de Pitágoras, substituindo o valor de b por 2c, podemos encontrar o valor dos catetos:

a² = b² + c²

25 = 4c + c²

5c² = 25

c² = 5

c - SQRT (5)

a2 = b2+c2

25 = (2c)2+c2

5c2 = 25

c = √5

Sendo b = 2c, então b = 2√5. Agora, podemos calcular o valor do seno do ângulo:

Sen a = b/a = 2 SQRT(5)/5

$sen espaço reto alfa igual a numerador cateto espaço oposto sobre denominador hipotenusa fim da fração igual a reto b sobre reto a sen espaço reto alfa igual a numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração$

Alternativa $d parêntese direito espaço numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração$

d) SQRT(5)/5