O triângulo retângulo representado na figura abaixo, apresenta um perímetro igual a 48 cm e área igual a 96 cm2. Quais são as medidas de x, y e z, se, nesta ordem, formam uma PA?

Exercício 2

Exercício de PA

Solução

Conhecendo os valores do perímetro e da área da figura, podemos escrever o seguinte sistema de equações:

x + y + z = 48

xy/2 = 96

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto x mais reto y mais reto z igual a 48 fim da célula linha com célula com numerador reto x. reto y sobre denominador 2 fim da fração igual a espaço 96 fim da célula fim da tabela fecha$

Mas, como os lados formam uma PA, então:

x = y-r

z = y + r

Onde r é a razão da PA. Substituindo o x e o z no sistema, temos:

y - r + y + y - r = 48

(y-r)y/2 = 96

Resolvendo o sistema

3 y = 48

y² -ry = 192

y = 48/3

y = 16

Mas

y² -ry = 192

16² - 16r = 192

256 - 16r = 192

16 - r = 12

r = 16 - 12

r = r

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto y menos reto r mais reto y mais reto y mais reto r igual a 48 fim da célula linha com célula com numerador parêntese esquerdo reto y menos reto r parêntese direito. reto y sobre denominador 2 fim da fração igual a espaço 96 fim da célula fim da tabela fecha Resolvendo espaço reto o espaço sistema dois pontos abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 3 reto y igual a 48 fim da célula linha com célula com reto y ao quadrado menos ry espaço igual a espaço 2 espaço reto x espaço 96 espaço igual a espaço 192 fim da célula fim da tabela fecha Isolando espaço reto o espaço reto y espaço na espaço primeira espaço equação dois pontos reto y igual a 48 sobre 3 igual a 16 Substituindo espaço reto o espaço valor espaço encontrado espaço de espaço reto y espaço na espaço segunda espaço equação dois pontos 16 ao quadrado menos 16 reto r igual a 192 256 menos 16 reto r igual a 192 reto r igual a 64 sobre 16 igual a 4$

Agora que conhecemos o valor do y e da razão, basta substituir esses valores nas expressões de x e z:

x = 16 – 4 = 12

z = 16 + 4 = 20

y = 16

x = 16 - 4 = 12

z = 16 + 4 = 20

Os valores dos lados do triângulo retângulo são 12 cm, 16 cm e 20 cm.