Fuvest - 2012 Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a1 = 1 + x, a2 = 6x, a3 = 2x2 + 4, em que x é um número real.

Questão 5

Fuvest - 2012

Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a1 = 1 + x, a2 = 6x, a3 = 2x2 + 4, em que x é um número real.

a) Determine os possíveis valores de x.

b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a)

Ver Resposta

a) Sendo a2 o termo central da PA, então ele é igual a média aritmética de a1 e a3, ou seja:

a2 = (a1+a3)/2

Delta = (-11)² - 4*2*5

Delta = 81

x' = 5

x" = 1/2

$a com itálico 2 subscrito itálico igual a numerador a com itálico 1 subscrito itálico mais a com itálico 3 subscrito sobre denominador itálico 2 fim da fração$

$itálico incremento itálico igual a itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 11 itálico parêntese direito à potência de itálico 2 itálico menos itálico 4 itálico. itálico 2 itálico. itálico 5 itálico incremento itálico igual a itálico 121 itálico menos itálico 40 itálico incremento itálico igual a itálico 81 x com itálico 1 subscrito itálico igual a numerador itálico menos itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 11 itálico parêntese direito itálico mais raiz quadrada de itálico 81 sobre denominador itálico 2 itálico. itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador itálico 11 itálico mais itálico 9 sobre denominador itálico 4 fim da fração itálico igual a itálico 20 sobre itálico 4 itálico igual a itálico 5 x com itálico 2 subscrito itálico igual a numerador itálico menos itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 11 itálico parêntese direito itálico menos raiz quadrada de itálico 81 sobre denominador itálico 2 itálico. itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador itálico 11 itálico menos itálico 9 sobre denominador itálico 4 fim da fração itálico igual a itálico 2 sobre itálico 4 itálico igual a itálico 1 sobre itálico 2$

Portanto x = 5 ou x = 1/2

b) Para calcular a soma dos 100 primeiros termos da PA, usaremos x = 1/2, pois o problema determina que devemos usar o menor valor de x.

Considerando que a soma dos 100 primeiros termos é encontrada através da fórmula:

S100 = (a1 + a100)*50

$S com itálico 100 subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo a com itálico 1 subscrito itálico mais a com itálico 100 subscrito itálico parêntese direito itálico. itálico espaço itálico 100 sobre denominador itálico 2 fim da fração$

Percebemos que antes precisamos calcular os valores de a1 e a100. Calculando esses valores, temos:

a1 = 1 + 1/2 = 3/2

a2 = 6*1/2 = 3

r = 3 - 3/2 = 3/2

a100 = a1 + 99 r

a100 = 3/2 + 99*3/2

a100 = 3/2 +297/2

a100 = 300/2

a100 = 150

$a com itálico 1 subscrito itálico igual a itálico 1 itálico mais itálico 1 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 3 sobre itálico 2 a com itálico 2 subscrito itálico igual a itálico 6 itálico. itálico 1 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 3 r itálico igual a itálico 3 itálico menos itálico 3 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 3 sobre itálico 2 a com itálico 100 subscrito itálico igual a a com itálico 1 subscrito itálico mais itálico parêntese esquerdo n itálico menos itálico 1 itálico parêntese direito itálico. r a com itálico 100 subscrito itálico igual a itálico 3 sobre itálico 2 itálico mais itálico parêntese esquerdo itálico 100 itálico menos itálico 1 itálico parêntese direito itálico. itálico 3 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 3 sobre itálico 2 itálico mais itálico 297 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 300 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 150 itálico espaço$

Agora que já conhecemos todos os valores que necessitávamos, podemos encontrar o valor da soma:

s100 = 50 (3/2 +150)

s100 = 50 (303/2)

S100 = 303*25

S100 = 7575

$Error converting from MathML to accessible text.$

Assim, a soma dos 100 primeiros termos da PA será igual a 7575.