Fuvest - 2012 Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a1 = 1 + x, a2 = 6x, a3 = 2x2 + 4, em que x é um número real.

 

Questão 5

Fuvest - 2012

Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a1 = 1 + x, a2 = 6x, a3 = 2x2 + 4, em que x é um número real.

a) Determine os possíveis valores de x.

b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a)

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a) Sendo a2 o termo central da PA, então ele é igual a média aritmética de a1 e a3, ou seja:

a2 = (a1+a3)/2

Delta = (-11)² - 4*2*5

Delta = 81

x' = 5

x" = 1/2

Portanto x = 5 ou x = 1/2

b) Para calcular a soma dos 100 primeiros termos da PA, usaremos x = 1/2, pois o problema determina que devemos usar o menor valor de x.

Considerando que a soma dos 100 primeiros termos é encontrada através da fórmula:

S100 = (a1 + a100)*50

Percebemos que antes precisamos calcular os valores de a1 e a100. Calculando esses valores, temos:

a1 = 1 + 1/2 = 3/2

a2 = 6*1/2 = 3

r = 3 - 3/2 = 3/2

a100 = a1 + 99 r

a100 = 3/2 + 99*3/2

a100 = 3/2 +297/2 

a100 = 300/2

a100 = 150

Agora que já conhecemos todos os valores que necessitávamos, podemos encontrar o valor da soma:

s100 = 50 (3/2 +150)

s100 = 50 (303/2)

S100 = 303*25

S100 = 7575

Assim, a soma dos 100 primeiros termos da PA será igual a 7575.