10- Duas torneiras enchem um tanque em 15 minutos. Se abrirmos a segunda torneira 5 minutos depois de abrir a primeira, o tanque será abastecido em 18 minutos. Quanto tempo levará cada torneira para encher o tanque?

 10- Duas torneiras enchem um tanque em 15 minutos. Se abrirmos a segunda torneira 5 minutos depois de abrir a primeira, o tanque será abastecido em 18 minutos. Quanto tempo levará cada torneira para encher o tanque?

x = tempo que a 1ª torneira leva para encher o tanque sozinha

y = tempo que a 2ª  torneira leva para encher o tanque sozinha

O que elas encheriam em 1 minuto (1/15 do tanque)

1/x + 1/y = 1/15 → (I)

Vamos lá?

A 1ª ficará funcionando durante os 18 minutos, ao passo que a segunda ficará funcionando por 5 minutos  amenos, ou seja, por somente 13 minutos.

Representando o tanque totalmente cheio pela unidade, fica:

18 * 1/x + 13 * 1/y = 1 Tanque

18/x + 13/y = 1 → mmc(x,y) = xy; logo:

(18y + 13x)/xy = xy/xy → multiplicando tudo por xy, fica:

18y + 13x = xy → (II)

De (I), tiramos:

[1/x + 1/y = 1/15 → (I), onde o mmc(x,y) = xy]

Assim:

15y + 15x = xy → (III)

Logicamente xy = xy, dessa forma (II) e (III) são iguais

Igualando (III) com (II), vem:

18y + 13x = 15y + 15x

18y - 15y = 15x - 13x

3y = 2x

y = 2x/3

Substituindo, em (III), "y" por seu valor acima, obtém-se:

15y + 15x = xy

15(2x/3) + 15x = x(2x/3)

10x + 15x = 2x²/3

25x = 2x²/3

3*25x = 2x²

2x² - 75x = 0

x(2x - 75x) = 0

x=0 → x'=0

2x-75=0 → 2x=75 → x"=75/2 → x"=37,5 min 37 minutos e 30 segundos

y = 2x/3

y = 2*37,5/3 = 75/3

y = 25 min

Solução: A 1ª torneira levará 37,5 minutos para encher o tanque sozinha e a 2ª torneira, 25 minutos para fazer o mesmo.