Perpendiculares a duas retas paralelas não sobrepostas, foram traçadas outras três retas paralelas não sobrepostas. Formaram-se então seis pontos distintos nestes cruzamentos de retas. Quantos triângulos distintos podemos formar interligando três pontos quaisquer?

Em relação às duas retas paralelas iniciais, para que formemos um triângulo, precisamos tomar 2 pontos distintos de uma reta e 1 ponto da outra, já que três pontos em linha não podem formar um triângulo.

Um triângulo que tenha os vértices nos pontos A, B e C, obviamente é o mesmo triângulo com os vértices nos pontos B, C e A, ou em qualquer uma das suas permutações. Sabendo disto, precisamos combinar dois a dois os pontos de uma das retas ( C_3, 2 ) e multiplicá-la por três, que é o número de pontos na outra reta paralela.

Como vale o mesmo se considerarmos o contrário, ou seja, tomarmos C_3, 2 dos pontos da segunda reta e multiplicarmos pelos três pontos da outra reta, então devemos multipicar tal resultado por dois:

Portanto:

Interligando três pontos quaisquer, que juntos permitem formar um triângulo, podemos formar 18 triângulos distintos.

http://www.matematicadidatica.com.br/AnaliseCombinatoriaExercicios.aspx#anchor_ex9