A figura ao lado representa um cubo de 3 cm de aresta, que tem no seu interior uma pirâmide cujo vértice é o centro de uma face do cubo e a base é a face oposta.

MMN e Propedêutica: A figura ao lado representa um cubo de 3 cm de are...:

29- A figura ao lado representa um cubo de 3 cm de aresta, que tem no seu interior uma pirâmide cujo vértice é o centro de uma face do cubo e a base é a face oposta.

Determine: 

a) a área total desta pirâmide; 

b) o volume que resta do cubo se retirarmos dele esta pirâmide.

Resolução:

a) a área total desta pirâmide; 

Diagonal do cubo = 3 √2

Metade da diagonal do cubo = 3 √2/2

Ab = 3 * 3 = 9 cm²

Lado da pirâmide

Lp² = (3√2/2)² + 3²

Lp² = 9*2/4 + 9

Lp² = 18/4 + 9

Lp² = (18 + 9*4)/4 

Lp² = 54/4

Lp² = 27/2

Lp = √27/√2

Lp = 3√3/√2  ===> Lado da Pirâmide

Ap = Lp * h

Calculando h da pirâmide

h² = Lp² + (3/2)²

h² = 54/4 + 9/4

h² = 63/4

h = 3 √7/2 ==> valor da altura da pirâmide

Ap = h * a / 2

Ap = 3 * ( 3 √7/2) /2

Ap = 9√7/4

Área total da pirâmide é igual a 4 Ap + área da base

At = 4* (9√7/4) + 3²

At = 9√7 + 9

At = 9 + 9√7 

b) o volume que resta do cubo se retirarmos dele esta pirâmide.

h = aresta do cubo = 3 cm

Vb = Área da Base

Vp = Área da Pirâmide

Vp = Ab * h/3

Vp = 9 cm² * 3 cm /3

Vp = 9 cm³

Vc = a³ = 3 cm³ = 27 cm³

Volume restante:

Vr = Vc - Vp = 27 cm³ - 9 cm³ = 18 cm³