* Malba Tahan Nerd (Profº Malba Tahan ®): Equações do 2º grau

Janildo Arantes maio 13, 2015


Equações do 2º grau

 COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES
 Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.
 Dividindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escrever a equação desta maneira.



x2 - Sx + P= 0
                           
Exemplos:
  • Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.
Solução
A soma das raízes corresponde a:
S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5
O produto das raízes corresponde a:
P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14
A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.
Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.

  • Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das raízes é  .
Solução
Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz  , a outra raíz será  .
    Assim:
Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.

 FORMA FATORADA
 Considere a equação ax2 + bx + c = 0.
 Colocando a em evidência, obtemos:
Então, podemos escrever:
Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é:
a.(x - x') . (x - x'') = 0

Exemplos:
  • Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.
Solução
Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.
Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:
(x-2).(x-3) = 0
  • Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.
       
Solução
Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.
Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:
2.(x - 5) (x - 5) = 0  ou 2. (x - 5)2=0

  • Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.
Solução
Como o , a equação não possui raízes reais.
Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.



EQUAÇÕES BIQUADRADAS
 Observe as equações:
x4 - 13x2 + 36 = 0
9x4 - 13x2 + 4 = 0
x4 - 5x2 + 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.
Denominamos essas equações de equações biquadradas.
Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Exemplos:
x4 - 5x2 + 4 = 0
x4 - 8x2 = 0
3x4 - 27 = 0

Cuidado!
      x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0               6x4 + 2x3 - 2x = 0            x4 - 3x = 0
As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA
      Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau.
      Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.

Seqüência prática
  • Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.
  • Resolva a equação ay2 + by + c = 0
  • Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.
       Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.
Exemplos:
  • Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
                   
                     y2 - 13y + 36 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:

                  y'=4     e      y''=9
Como x2= y, temos:
                   
Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

  • Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

                       y2 + 4y - 60 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:

                     y'=6   e  y''= -10
Como x2= y, temos:

                    
Logo, temos para o conjunto verdade:.

  • Determine a soma das raízes da equação .
Solução
Utilizamos o seguinte artifício:
Assim:
             y2 - 3y = -2
            y2 - 3y + 2 = 0
           y'=1  e  y''=2
Substituindo y, determinamos:
Logo, a soma das raízes é dada por:
        

Resolução de equações da forma: ax2n  +  bxn  + c = 0
Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.
Para isso, substituimos xn por y, obtendo:
        ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.
Exemplo:
  • resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.
Solução
Fazendo x3=y, temos:
                y2 + 117y - 1.000 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
              y'= 8  e  y''= - 125
Então:
             
Logo, V= {-5, 2 }.

Composição da equação biquadrada
 Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:
(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0
Exemplo:
  • Compor a equação biquadrada cujas raízes são:
 
Solução
a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0                      b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0
 x2(x2 -49) = 0                                                 (x2-a2) (x2-b2) = 0
 x4 - 49x2 = 0                                                   x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0


 PROPRIEDADES  DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA
              Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.
             De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:

 1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.
                            
x1 + x2 + x3 + x4 = 0


 2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -.
 3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .


EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Considere as seguintes equações:
Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações sãoirracionais.
Ou seja:
     
                             Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.

 RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL
         A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.
         Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).
       É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.
Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.
Solução
                  
Logo, V= {58}.

Solução
                
Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

Solução
Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

Solução
          
Logo, V={9}; note que  é uma raiz estranha a essa equação irracional.



SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
 Observe o seguinte problema:
 Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.
De acordo com os dados, podemos escrever:
8x + 4y = 64
2x . ( 2x + 2y) = 192   4x2 + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:
2x + y = 16                 1
x2 +xy = 48                 2

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.
Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:
Assim:    2x + y = 16        1
                        y = 16 - 2x
Substituindo y em  2 , temos:
               x2 + x ( 16 - 2x) = 48
              x 2 + 16x - 2x2 = 48
                - x2  + 16x - 48 = 0  Multiplicando ambos os membros por -1.
                  x2 - 16x + 48 = 0
x'=4       e        x''=12
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y'=16 - 2 . 4 = 8
y''=16 - 2 . 12 = - 8

As soluções  do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).
desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:
                    Comprimento    =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m
                    Largura              =2x = 2. 4 = 8m
Verifique agora a solução deste outro sistema:

   
Isolando y em 1
               y - 3x = -1  y = 3x - 1
Substituindo em  2
           x2  - 2x(3x - 1)  = -3
           x2 - 6x2 + 2x    = -3   
          -5x2 + 2x + 3    = 0    Multiplicando ambos os membros por -1.
           5x2 - 2x - 3     = 0
x'=1       e    x''=-
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
                                            
As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e  .
Logo, temos para conjunto verdade: 


PROBLEMAS DO 2º GRAU
 Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:
Sequência prática
  • Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.
  • Resolva a equação ou o sistema de equações.
  • Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.
Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:
  • Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja .
Solução
Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por .
Temos estão a equação: .
Resolvendo-a:
                                    
Observe que a raiz  não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.
Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.
  • Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.
Solução
Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.
Observe:
Número:                10x + y
Número com a ordem dos algarismos trocada:   10y + x.
Temos, então, o sistema de equações:
                                              
Resolvendo o sistema, temos:
                                               
Isolando y em   1 :
                    -x + y = 3   y= x + 3
Substituindo y em 2:
xy   =  18
x ( x + 3)      =   18
x2 + 3x     =   18
x2 + 3x - 18   =   0
x'= 3  e  x''= -6
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
                                 y'= 3 + 3 = 6
                                 y''= -6 + 3 = -3
Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.
Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número
36 ( x=3  e y=6).
Resposta: O número procurado é 36.


  • Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.
Solução
Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.
Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:
                       
Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão  do tanque; observe a equação correspondente:
                       
Resolvendo-a, temos:
                      6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )
                      6x + 30 + 6x = x2 + 5x
                       x2 - 7x - 30 = 0
                       x'= - 3      e   x''=10
Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.
Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.
  • Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?
Solução
Podemos representar por:
   
Resolvendo-a:
   
Resposta:  Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.


http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/ 
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