LISTA DE EXERCÍCIOS – PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

LISTA DE EXERCÍCIOS – PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO – GABARITO

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

MATEMÁTICA – 2ª SÉRIE – MATEMÁTICA I

COORDENAÇÃO: COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

LISTA DE EXERCÍCIOS – PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO – GABARITO

Princípio Multiplicativo

1. Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?

90 100 110 130 120

Solução. Cada item do cardápio pode ser combinado com as quantidades dos outros. Pelo teorema fundamental da contagem (princípio multiplicativo) as possibilidades são: 2 * 4 * 5 * 3 = 120 possibilidades.

2. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ?

60 120 240 40 80

Solução. Números com três algarismos distintos quer dizer que uma vez usado um algarismo em determinada ordem, ela não poderá mais aparecer. No caso há seis algarismos a ser utilizados. As possibilidades são começando das centenas. (poderia iniciar das unidades ou dezenas)

Centenas simples	Dezenas simples	Unidades simples
6 possibilidades	5 possibilidades	4 possibilidades
1ª escolha	2ª escolha (um algarismo já foi utilizado)	3ª escolha (dois algarismos já foram usados)

Logo, pelo princípio multiplicativo ou fundamental da contagem há 6 x 5 x 4 = 120 possibilidades.

3. De quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 (dois) pares de sapatos, 4 (quatro) paletós e 6 (seis) calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos ?

52 86 24 32 48

Solução.

Temos três decisões, a saber, as de calçar um dentre os dois pares de sapatos a de vestir um dentre os quatro paletós e a terceira é a de vestir uma dentre as seis calças.

Dessa forma cada item do vestuário pode ser combinado com as quantidades dos outros. Pelo teorema fundamental da contagem (princípio multiplicativo) as possibilidades são:

2 * 4 * 6 = 48 possibilidades.~~~> Resposta

4. No sistema de emplacamento de veículos que seria implantado em 1984, as placas deveriam ser iniciadas por 3 letras do nosso alfabeto. Caso o sistema fosse implantado, o número máximo possível de prefixos, usando somente vogais, seria:

20 60 120 125 243

Solução. As vogais podem ser repetidas de forma que as possibilidades podem ser: 5 * 5 *5 = 5³ = 125.

Primeira letra	Segunda letra	Terceira letra
5 possibilidades	5 possibilidades	5 possibilidades
1ª escolha	2ª escolha	3ª escolha

5. Os números dos telefones da Região Metropolitana de Curitiba tem 7 (sete) algarismos cujo primeiro digito é 2. O número máximo de telefones que podem ser instalados é:

1 000 000 2 000 000 3 000 000 6 000 000 7 000 000

Solução. A única restrição é que o 1º dígito a esquerda do formado por sete algarismos seja fixo 2. Como há 10 algarismos de 0 a 9 e podem ser repetidos temos as possibilidades:

2 (fixo)	0 a 9	0 a 9	0 a 9	0 a 9	0 a 9	0 a 9
1 possibilidade	10 possibilidades.	10 possibilidades.	10 possibilidades.	10 possibilidades.	10 possibilidades.	10 possibilidades.

Logo, há 1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1 000 000.

6. Quantos números distintos entre si e menores de 30 000 tem exatamente 5 (cinco) algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} ?

90 120 180 240 300

Solução. Se os números são menores que 30000, então com os algarismos envolvidos a dezena de milhar não pode ser 3, 4 ou 5 pois os demais formariam um número maior que o limite informado. A dezena de milhar será, então 1 ou 2.

1ª escolha	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha	5ª escolha
2 possibilidades	5 possibilidades	4 possibilidades	3 possibilidades	2 possibilidades
1ª escolha: Só podemos escolher 1 ou 2	2ª escolha: (um número já foi escolhido)	3ª escolha: (dois números já foram escolhidos)	4ª escolha: (três números já foram escolhidos)	5ª escolha: (quatro números já foram escolhidos)

Logo as possibilidades são: 2 * 5 * 4 * 3 * 2 = 240.

7. Quantos são os números inteiros positivos de 5 (cinco) algarismos que não tem algarismos adjacentes iguais ?

5⁹9.8⁴8. 9⁴8⁵9⁵

Solução. Esse caso não exige que todos os algarismos sejam diferentes e sim, que os adjacentes o sejam. Isto é. Um algarismo utilizado na ordem das unidades poderá ser utilizado nas centenas, mas não nas dezenas ou unidades de milhar. Os algarismos vão de 0 a 9.

1ª escolha	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha	5ª escolha
9 possibilidades	9 possibilidades	9 possibilidades	9 possibilidades	9 possibilidades
Não inicia por 0, pois nesse caso o zero é algarismo não significativo.	Diferente da 1ª, mas o zero pode ser utilizado.	Diferente da 2ª escolha	Diferente da 3ª escolha	Diferente da 4ª escolha

Logo as possibilidades são: 9 * 9 * 9 * 9 * 9 = 9⁵.

8. Quantos são os inteiros positivos, menores que 1 000 que tem seus dígitos no conjunto {1, 2, 3 }?

15 23 28 39 42

Solução. Não especificou-se quantos algarismos deve ter o número. Logo, devemos calcular para os casos de 1, 2 ou 3 algarismo. Nenhum número de 4 algarismo será formado.

a) 1 algarismo: números 1, 2 ou 3. Logo três possibilidades.

b) 2 algarismos: 3 possibilidades para as dezenas e 3 nas unidades. Logo 3 * 3 = 9 possibilidades.

c) 3 algarismos: 3 possibilidades para as centenas, 3 para as dezenas e 3 para as unidades: 3 * 3 * 3 = 27

Logo o total de números menores que 1000 é: 27 + 9 + 3 = 39 casos.

9. A quantidade de números inteiros compreendidos entre os números 1 000 e 4 500 que podemos formar utilizando os algarismos 1. 3. 4. 5 e 7 de modo que não figurem algarismos repetidos é:

48 54 60 72 144

Solução. Essa situação deverá ser dividida em duas situações:

a) O maior número com esses algarismos menor que 4500 é 43751. Com 4 na dezena de milhar:

4 (fixo)	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha
1 possib.	2 possib.	3 possib.	2 possib.

b) Com 1 ou 3 nas dezena de milhar:

1ª escolha	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha
2 possib.	4 possib.	3 possib.	2 possib.

Logo, há (1 * 2 * 3 * 2) + (2 * 4 * 3 * 2) = 12 + 48 = 60 possibilidades.

10. Quantos números de pares, distintos, de quatro algarismos, podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4 sem repeti-los?

156 60 6 12 216

Solução. Um número é par se o algarismo das unidades simples for 0, 2, 4, 6 ou 8. No caso dessa questão a unidade simples poderá ser 0, 2 ou 4. Outra restrição é o fato de que a unidade de milhar não pode ser 0. Dividindo em duas situações, temos:

a) A unidade simples é 0.