169
Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.
O raio da perfuração da peça é igual a
a
1 cm.
b
2 cm.
c
3 cm.
d
4 cm.
e
5 cm.
http://hupples.com/#!/grupo/100004/lista/1000025/questao-169
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RESOLUÇÃO: Veja o vídeo
https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=dMMKxMw7Wx8
Solução simples:
Outra solução:
R = (6+8-10)/2
R = 2 cm
http://www.dinamatica.com.br/2011/11/circulos-inscritos-no-triangulo.html
D.A. RESOLVE (solução mais rebuscada)
O primeiro passo é esquematizar uma vista da base do prisma com os pontos de tangência da circunferência do orifício com as faces laterais, vê-se:
O triângulo ABC é pitagórico e, portanto, trata de um triângulo retângulo em C. O LadoAB é a hipotenusa e os lados AC e BC são os catetos.
Percebe-se que OP e ON são raios da circunferência de centro O. Como o ângulo C é reto, mede 90°, fica fácil visualizar o quadrado ONCP.
O segundo passo é identificar as medidas dos segmentos de reta AM, MB, BP, PC, CNe NA. Vê-se:
O quadrado ONCP tem quatro lados iguais, portando, OP = ON = NC = PC = r. Tem-se:
Agora, o terceiro passo é perceber que existem alguns triângulos mais que semelhantes, na verdade, idênticos. Tem-se:
Devido a semelhança de triângulos os segmentos são equivalentes AN = AM e BP = BM.
O quarto passo é equacionar as equivalências com os valores de cada segmento de reta e realizar os cálculos necessários, tem-se:
Após resolver o sistema de equações do 1º grau descobriu-se que o raio do orifício feito no prisma é 2 cm.
Alternativa B
Solução simples:
Perceba que o triangulo é pitagórico (3,4,5) => 6,8,10
Portanto, a circunferência está inscrita em um triângulo retângulo.
O raio da circunferência é calculado por:
Portanto, a circunferência está inscrita em um triângulo retângulo.
O raio da circunferência é calculado por:
R = (a+b-c)/2, onde c é a hipotenusa e a e b são os catetos.
R = (6+8-10)/2
R = 2cm
Seja o triângulo retângulo ABC onde AH é a altura relativa à hipotenusa.
A soma dos raios dos círculos inscritos nos triângulos ABC, ABH e ACH é igual à medida da altura AH, isto é, r + r1 + r2 = h .
A demonstração dessa propriedade está baseada no cálculo do raio do círculo inscrito no triângulo retângulo, como mostrado na figura:
R = (a+b-c)/2, onde c é a hipotenusa e a e b são os catetos.
R = (6+8-10)/2
R = 2 cm
http://www.dinamatica.com.br/2011/11/circulos-inscritos-no-triangulo.html
D.A. RESOLVE (solução mais rebuscada)
O primeiro passo é esquematizar uma vista da base do prisma com os pontos de tangência da circunferência do orifício com as faces laterais, vê-se:
O triângulo ABC é pitagórico e, portanto, trata de um triângulo retângulo em C. O LadoAB é a hipotenusa e os lados AC e BC são os catetos.
Percebe-se que OP e ON são raios da circunferência de centro O. Como o ângulo C é reto, mede 90°, fica fácil visualizar o quadrado ONCP.
O segundo passo é identificar as medidas dos segmentos de reta AM, MB, BP, PC, CNe NA. Vê-se:
O quadrado ONCP tem quatro lados iguais, portando, OP = ON = NC = PC = r. Tem-se:
Agora, o terceiro passo é perceber que existem alguns triângulos mais que semelhantes, na verdade, idênticos. Tem-se:
Devido a semelhança de triângulos os segmentos são equivalentes AN = AM e BP = BM.
O quarto passo é equacionar as equivalências com os valores de cada segmento de reta e realizar os cálculos necessários, tem-se:
Após resolver o sistema de equações do 1º grau descobriu-se que o raio do orifício feito no prisma é 2 cm.
Alternativa B
http://www.da-educa.com/2010_11_01_archive.html
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