Séries números figurativos

Os Números Triangulares

Comecemos por recolher uma colecção de bolas do mesmo tamanho. Convém que não sejam muito grandes e, se forem bonitas, tanto melhor.

Uma boa escolha é o conjunto das 15 bolas coloridas de "snooker" (sinuca), até porque já trazem um caixilho triangular de madeira. Não é por acaso que as bolas coloridas encaixam perfeitamente num triângulo equilátero com 5 bolas em cada lado.
Acontece que quinze é o Número Triangular de ordem cinco, ou T(5)=15.

Procuremos os primeiros Números Triangulares

T(1) = 1

T(2) = 3

T(3) = 6

Se as bolas começarem a rolar, podemos arranjar duas ripas formando um ângulo de 60º, na forma de um funil. Agora basta ir colocando camadas de bolas no funil:

T(1) = 1
T(2) = T(1) + 2 = 3
T(3) = T(2) + 3 = 6
T(4) = T(3) + 4 = 10...
Fórmula Recursiva:
T(1) = 1
T(n+1) = T(n) + (n+1)

As fórmulas recursivas têm a sua importância, mas talvez seja melhor procurar uma relação iterativa. Coloquemos agora as ripas num ângulo de 45º:

T(1) = 1
T(2) = 1 + 2 = 3
T(3) = 1 + 2 + 3 = 6
T(4) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10...
Fórmula Iterativa:
T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n

Diz a lenda que Gauss, quando miúdo de escola, era bastante irrequieto. Um dia o professor decidiu pô-lo a calcular: 1 + 2 + 3 + ... + 100, na esperança de o manter sossegado por algum tempo. Não resultou, pois o miúdo rapidamente calculou: 50 * 101 = 5050.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Não negando o devido valor a tal prodígio infantil, convém recordar que este é um dos mais antigos resultados conhecidos da Matemática. Os antigos gregos já o conheciam tendo-o demonstrado, como era seu gosto, por via geométrica.

Teorema T1 (Pitágoras, sec. VI A.C.): 2 * T(n) = n * (n+1)

Um Exemplo:

2 * T(4) =
2 * (1+2+3+4) = 4 * 5

Uma Demonstração:


    n + 1     = n+1
(n-1) + 2     = n+1
(n-2) + 3     = n+1
     ...
    2 + (n-1) = n+1
    1 + n     = n+1
_____________
  n * (n+1)

Assim obtemos uma Fórmula Fechada para o cálculo do Número Triangular de ordem n:
T(n) = n (n+1) / 2

e provamos também aquela que ficou conhecida como "Fórmula do menino Gauss":
1 + 2 + 3 + ... + n = n (n+1) / 2.

Teorema T2 (Nicómacus, sec. I): T(n) + T(n+1) = (n+1)²

Um Exemplo:

T(4) + T(5) =
(1+2+3+4) + (1+2+3+4+5) =
5 * 5

Uma Demonstração:


    n + 1     = n+1
(n-1) + 2     = n+1
(n-2) + 3     = n+1
     ...
    2 + (n-1) = n+1
    1 + n     = n+1
    0 + (n+1) = n+1
_____________
(n+1) * (n+1) = (n+1)²

Exercícios:

3 T(n) + T(n-1) = T(2n)
3 T(n) + T(n+1) = T(2n+1)
9 T(n-1) + 3n = T(3n-1)

Uma Aplicação dos Números Triangulares

Imaginemos uma situação em que n pessoas se encontram. Para que todos se cumprimentem mutuamente, quantos apertos de mão deverão ser efectuados?
O 1º cumprimenta (n-1) 2º (n-2) ... ... (n-1)º 1 nº 0 _______________________ Total de apertos de mão = T(n-1)	Se essas n pessoas decidirem organizar um campeonato de snooker, precisarão naturalmente de travar T(n-1) partidas.

por Rosália Rodrigues e Emília Miranda

De "As Formas e os Números"

http://www.atractor.pt/mat/numeros/triangulares/