PIF 1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)

Princípio da Indução Finita:



1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)


a) 1²+2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6

- vale para n=1
1² = 1(1+1)(2.1+1)/6 = 2.3/6 = 1

- Supondo que vale para n=k
Hipotese da Indução 
1²+2²+3²+....+k²=k(k+1)(2k+1)/6

Provaremos que vale para n = k+1, ou seja, temos que chegar :
1²+2²+3²+....+k²+(k+1)²=(k+1)((k+1)+1)(2…‡ = (k+1)(k+2)(2k+3)/6

De fato, pela Hipotese temos
1²+2²+3²+....+k²+ (k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²
= [k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)²]/6
= (k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6
= (k+1)[2k² + k + 6k + 6]/6
= (k+1)[2k²+7k+6]/6
= (k+1)(k+2)(2k+3)/6
cqd.

b) 2^n>3n . . n>=4
- vale para n=4
2^4=16 > 3.4 = 12

- Supondo que vale para n=k
Hipotese de Indução
2^k > 3k

Provaremos que vale para n=k+1
2^(k+1) > 3(k+1)

De fato,
Pela Hipotese de Indução
2^(k+1) = 2^k.2 > 3k.2 = 6k > 3k + 3 = 3(k+1) *(k>=4) 

cqd.


c) 1+3+5+...+(2n-1)=n²

-vale para n=1
1 = 1² 

- Supondo que vale para n=k
Hipotese da Indução
1+3+5+...+(2k-1) = k²

Provaremos que vale para n=k+1
1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (k+1)²

De fato, 
1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1) = k² + (2k+1)
= (k+1)²

cqd.