Trigonometria básica

Trigonometria básica - Exercícios

1) Num triângulo retângulo sabe-se que o cosseno de um ângulo α vale 5/13. Determine os possíveis lados do triângulo:

Sabe-se que:

Vamos dizer que triângulo tem lados a,b e c,com c como a hipotenusa.

a²=b²+c² == > Equação 1

cos α=5/13

A gente pode dividir a Equação 1 por a²

Ficando da seguinte forma:

a²/a²=b²/a²+c²/a²

1 = b²/a²+c²/a²

Como seno α = c/a e elevado ao quadrado c²/a²

O cosseno b/a e elevado ao quadrado b²/a² que equivale a 5²/13²

Temos então:

sen α²+cos α²=1

sen α²+(5/13)²=1

sen α²+25/169=1

Isolando sen α²

sen α²+25~~/169 -25/169~~=1- 25/169

sen α²=1-25/169

sen α²=169/169 - 25/169

sen α²=(169-25)/169

sen α²=144/169

Extraindo-se a raiz quadrada em ambos os lados:

√(sen α²)=√(144/169)

sen α=12/13

sen α=a/c e cos α=b/c

12/13=c/a 5/13=b/a

c/a = 12/13

a/c =13/12

a = (13/12)c

5/13=b/a

13/5 = a/b

a/b =13/5

a = (13/5)b

(12/13)c (5/13).b onde b e c são quaisquer números reais

4) Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20º. Após percorrer 2000 metros em linha reta, qual será a altura atingida pelo avião aproximadamente (utilize seno 20º = 0,342; cosseno 20º = 0,94 e Tangente de 20º= 0,364 )

2000m cateto oposto

sen β = cat oposto/ hipotenusa

sen 20º = cat oposto/ 2000 m

sen 20º * 2000 m = ~~2000 m~~ * cat oposto/ ~~2000 m~~

0,342 * 2000 = cat oposto

0,342 *1000* 2 = cat oposto

342 * 2 = cat oposto

cat oposto = altura (h) = 684 m

5) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1000 metros, qual a altura atingida pelo avião?

A figura seria semelhante à anterior mudando apenas os dados:

γ =30º

sen γ = cat oposto/ hipotenusa

sen 30º = cat oposto/ 1000 m

sen 30º * 1000 m = 1~~000 m~~ * cat oposto/ ~~1000 m~~

0,5 * 1000 = cat oposto

500 = cat oposto = altura

cat oposto = altura (h) = 500 m

6) de um ponto A, uma agrimensor enxerga o topo T de um morro, conforme um ângulo de 45º. Ao se aproximar 50m do morro, ele passa a ver o topo T conforme o ângulo de 60º. Determine a altura do morro.

Sabemos que tangente = 45º = 1

Tangente 45º = x/(50 + y) = 1 == > equação 1

Tangente 60º = x/ y = sqrt (3) = 1,7 == > equação 2

Da equação 2 temos:

x= 1,7 y Equação 3

Agora é só substituir a equação 3 na equação 1.

1,7y /(50 + y) = 1y

1,7 y = 50 + y

1,7y – 1 y = 50

0,7 y = 50

y = 50/0,7

y =50 * 10/7

y =500/7

y = 71,43 (aproximadamente)

Mas

x = y + 50

x = 71,43 + 50

x = altura do topo do morro = 121,43

10) uma pessoa de 1,65 metros de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65 m a:

a) b cos a b) a cos a c) a sen a d) b tg a e) b sen a

h = 1,65 + x

Como

seno a = x/b

x = seno a*b

h = seno a * b + 1,65

h = 1,65 + b seno a== > Resposta (b seno a )

Resolvam esses:

1) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x

02) Na cidade de pisa, Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo.

Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o ponto mais alto da torre em relação ao solo?

(dados: sen 74º = 0,96¸ cos 74º = 0,28 e tg74º = 3,4)

a) 55 m b) 15 m c) 45 m d) 42 m e) 51 m

03) (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4Ö3 m e o vão entre elas é de 12 m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo.

04) Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.

05) (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x

AD = x DC = x - 38 BD = y

06) Com base na figura abaixo é correto afirmar:

01. h = Ö2 m

02. h = Ö3 m

04. a = (1 + Ö3) m

08. O triângulo ACD é isósceles

16. O lado AC mede 6 m

07) Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória.

Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à costa?

(sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36)

08) Determine o valor de x e y na figura abaixo:

09) (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:

a) b cos a b) a cos a c) a sen a d) b tg a e) b sen a

10) (U.E. Ponta Grossa-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância AB = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto.

01. AC = 10 km

02. AD = 2,5 km

04. BC = 5Ö3 km

08. O ângulo BÂD mede 60°

16. A velocidade média do barco é de 15 km/h

11) (CEFET-PR) Se na figura abaixo AB = 9 cm, o segmento DF mede, em cm:

a) 5 b) 4 c) 8 d) 7 e) 6

12) (FUVEST) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos²α)x² – (4cosαsen β)x + (3/2)sen β= 0, sendo α e β os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo.

Pode-se afirmar que as medidas de α e β são respectivamente:

a) p/8 e 3p/8 b) p/6 e p/3 c) p/4 e p/4 d) p/3 e p/6 e) 3p/8 e p/8

13) Calcular as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC indicado pela figura abaixo:

14) (FUVEST) Dois pontos, A e B, estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 75^o e o ângulo ACB mede 75^o. Determine a largura do rio.

15) (UFSC) Sejam h e y, respectivamente, os comprimentos da altura e do lado AD do paralelogramo ABCD da figura. Conhecendo-se o ângulo a, o comprimento L do lado AB, em centímetros, é: