[Geometria Analítica - Nível Superior]

1)Determine o simétrico do ponto P(3,1-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3).

2) Mostrar que os pontos A(4,0,1), B(5,1,3), C(3,2,5) e D(2,1,3) são vértices de um paralelogramo.

1)
Bem, se quisermos determinar o simétrico de P em relação a A, então tomamos por base que A é o ponto médio entre P e seu simétrico (chamado aqui de Q).

A = (P + Q) /2

2(-1,0,-3) = (3,1,-2) + Q

Q = (-2,0,-6) - (3,1,-2)

Q = (-5,-1,-4)

2)
AB, BC, CD, AD. Se houver dois pares iguais, são vértices de um paralelogramo.

AB = B - A ⇒ (5, 1, 3) - (4, 0, 1) = (1, 1, 2)

AB = √(1² + 1² + 2²)

AB = √(1 + 1 + 4)

AB = √6

BC = C - B ⇒ (3, 2, 5) - (5, 1, 3) = (-2, 1, 2)

BC = √[(-2)² + 1² + 2²]

BC = √(4 + 1 + 4)

BC = √9

BC = 3

CD = D - C ⇒ (2, 1, 3) - (3, 2, 5) = (-1, -1, -2)

CD = √[(-1)² + (-1)² + (-2)²]

CD = √(1 + 1 + 4)

CD = √6

DA = A - D ⇒ (4, 0, 1) - (2, 1, 3) = (2, -1, -2)

DA = √[2² + (-1)² + (-2)²]

DA = √(4 + 1 + 4)

DA = √9

DA = 3

AB = CD e BC = DA.

QSL?