Um teorema sobre a parábola

Janildo Arantes agosto 15, 2013

Baixe: http://home.uevora.pt/~rpa/ArquiGD.pdf

O método de exaustão, talvez devido a Antífono e seu colega Brison de Heracleia, século V a.c., permitiu encontrar a mais famosa aproximação de  pi de sempre. Durante mil anos não se encontrou melhor que

$\displaystyle 3+\frac{10}{71}<\pi<3+\frac{1}{7},$(1)


que Arquimedes conseguiu dividindo o círculo em 96 partes.
O método de exaustão permitiu de facto estabelecer resultados precisos. Por exemplo, cremos que o seguinte esquema,
Figura: À esquerda, $ \measuredangle CAB= 3\measuredangle XAB$ com régua graduada com a medida do raio. À direita, Área do círculo $ =\frac {Pr}{2}=\pi r^2$ .
\includegraphics{fig2.eps}
ver figura 2, era conhecido dos matemáticos gregos mais antigos. Trata-se da justaposição de triângulos de altura $ r=$ raio, dado o perímetro $ P$ , deduzindo-se a área do círculo.
O seguinte resultado utiliza outro método na demonstração inteiramente devido ao físico-matemático, que se refere mais à frente.

Teorema 1 (Arquimedes, [2])   A área do maior triângulo inscrito num segmento de uma parábola é $ 3/4$ da área do respectivo segmento de parábola.
Em particular,

$\displaystyle \frac{3}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\cdots\ = 1.$(2)


Sendo o eixo dos $ y$ 's o eixo de simetria de uma parábola $ y=kx^2,\ k>0$ , (podemos sempre encontrar uma transformação afim do plano onde a parábola é descrita por esta equação, ou mesmo com$ k=1$ ),
Figura: Área $ \Delta ABT=\frac {3}{4}$ Área da parábola $ ABT$ .
\includegraphics{fig3.eps}
cf. figura 3. Repare-se que o ponto $ T$ é o ponto onde a tangente à parábola tem o declive do segmento $ AB$ . Supondo esta recta dada como $ y=ax+b,\ a,b$ constantes, obtivemos o valor da área do triângulo $ ABT$ como $ \frac{(a^2+4kb)^\frac{3}{2}}{8k^2}$ -- um exercício simples quando armados do cálculo diferencial. Convém ainda ter presente que qualquer transformação afim preserva a razão entre duas áreas.
Arquimedes prova também que as projecções de $ A$ e $ B$ no eixo dos $ x$ 's são equidistantes da respectiva projecção de $ T$ . Lembremo-nos que Arquimedes não possui os conceitos mais elementares daál-jbra de hoje, apenas as relações entre quantidades geométricas.
Os gregos já referiam as tangentes; Arquimedes manuseia-as com mestria para obter, por exaustão, construindo a série (2), a área da parábola através da dos triângulos inscritos. Repare-se que há um processo indutivo no problema: recortado o triângulo, surgem duas novas regiões em condições análogas e de área total 1/4 da área do segmento de parábola.
Curiosamente, o teorema parece ser pouco conhecido nos dias de hoje.
O estudo das cúbicas foi outro tema que Arquimedes abraçou, tendo sido mais tarde continuado por Omar Khayyam (o matemático e poeta persa-árabe do século XIII, que nos legou a notação `chai', `coisa', que depois degenerou em $ x$ ). Recordamos que os árabes foram os guardiões de muita da cultura helénica e, em particular, de algumas obras de Arquimedes.




Arquimedes de Siracusa, 287-212 a.c.


Figura 1: Arquimedes de Siracusa
\includegraphics{fig1.eps}
Em 2013 terão passado 2300 anos sobre o nascimento do grande $ A\rho\chi\iota\mu\eta\delta\eta\varsigma$ , génio célebre da matemática e da física.
Arquimedes nasceu e morreu em Siracusa, na Sicília, filho do astrónomo Fídias, de uma família respeitada pelo rei Hierão. Cedo foi estudar para Alexandria onde uma escola de matemática, entre outras, havia sido fundada por Euclides (c.330-265 a.c.). Em Alexandria fez numerosos amigos estudiosos com quem se correspondeu ao longo da vida, como por exemplo o matemático Eratóstenes.
Arquimedes é autor de imensas descobertas e inventos notáveis e peripécias, cada uma mais emblemática que a outra.
Lembremos os momentos célebres em que ele diz ``dêem-me um ponto de apoio e com a minha alavanca erguerei o mundo'' referindo-se aos seus estudos teóricos sobre o equilíbrio dos corpos, o grito de$ \varepsilon\acute{\nu}\rho\eta\kappa\alpha$ saindo do banho para a rua quando descobriu uma lei da hidrostática. E as criações do chamado Parafuso de Arquimedes, o estudo da chamada Espiral de Arquimedes ou as invenções de instrumentos militares (um dos quais, muito peculiar, consistiria numa espécie de feixe solar para incendiar barcos romanos ao largo de Siracusa; porém, algumas experiências recentes terão levantado muito fumo sobre tal invento).
Menos conhecidas serão a criação de um método numérico para contar além da ``miríade'' ($ 10^4$ ) os grãos de areia do Universo, ou o Axioma de Arquimedes, que afinal este atribui a Eudóxio, hoje estudado na Análise e que justifica o chamado método de ``exaustão'' para os matemáticos gregos (ou de `integração'), ie. algo aparentemente tão óbvio como$ \forall M>0,\ \forall 0\leq r\leq \frac{1}{2},\ \lim_n Mr^n=0$ .
Ou, ainda, um cálculo muito aproximado da $ \sqrt{3}$ .
Assim como uma elegante e simples trisecção do ângulo com compasso e régua com apenas duas marcas, problema célebre posto por Euclides que se destinava a ser resolvido com compasso e régua não graduada -- e que afinal se provou ser impossível, cf. figura 2.
A vida de Arquimedes deverá ter sido a de um verdadeiro cientista fortemente comprometido com a investigação, tanto pura como aplicada, e simultâneamente com a ajuda aos homens da sua cidade em questões e problemas práticos.
Até a sua morte nos parece quase mitológica: durante as guerras Púnicas quando as tropas do romano Marcellus, depois de muito tentarem, invadiram a ilha num ataque surpresa, ainda que soubessem do célebre cientista, um soldado ter-lhe-á cravado a espada. Com Arquimedes avisando que o deixassem concluir certos cálculos...



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