Trigonometria do ângulo agudo

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Razões trigonométricas de um ângulo agudo

Construímos um triângulo rectângulo [ABC] sobre um ângulo de amplitude ß°
( 0° < ß° < 90° ).

Chama-se seno de ß° e nota-se por
sen ß°, ao quociente entre as medidas dos comprimentos do cateto oposto ao ângulo considerado e da hipotenusa, isto é,

Chama-se co-seno de ß° e nota-se por cos ß°, ao comprimento entre as medidas dos comprimentos do cateto adjacente ao ângulo considerado e da hipotenusa, isto é,

Chama-se tangente de ß° e nota-se por tg ß°, ao quociente entre as medidas dos comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente, isto é,

Chama-se co-tangente de ß° e nota-se por cotg ß°, ao quociente entre as medidas dos comprimentos do cateto adjacente e do cateto oposto, isto é,

Estas razões chamam-se razões trigonométricas do ângulo com amplitude ß°.
Das definições anteriores conclui-se que:

Determinação das razões trigonométricas de ângulos agudos

Recorrendo a um triângulo isósceles e rectângulo [BAE], em que a é a medida dos catetos, determinemos as razões trigomométricas do ângulo de 45º.

BÂE = BÊA , por o triângulo ser isósceles.
Logo BÂE = 45°.
Pelo teorema de Pitágoras,

Recorrendo agora a um triângulo equilátero [BAE] de lado a e onde [AH] é uma altura, determinemos as razões trigonométricas dos ângulos de 30º e de 60º.

Como o triângulo [BAE] é equilátero,

Então, tendo em conta a definição de cada razão trigonométrica, temos:
Image104.gif (3449 bytes)

Em resumo, os dois exemplos apresentados, justificam o quadro seguinte:

	30°	45°	60°
sen
cos
tg		1
cotg		1

Razões trigonométricas de um ângulo generalizado

Círculo Trigonométrico

Círculo Trigonométrico é todo o círculo orientado, de centro na origem do referencial e limitado por uma circunferência de raio 1.

O ângulo ß tem um lado coincidente com a parte positiva do eixo dos xx e o outro lado interssecta a circunferência de raio 1 no ponto P = (x,y).

O co-seno é a abcissa e o seno é a ordenada do ponto P, isto é, o ponto de extremidade do ângulo com o arco que limita o círculo trigonométrico.
Temos então,

Como o seno de ß é igual à ordenada do ponto associado, ao eixo das ordenadas também se chama eixo dos senos.

Como o co-seno de ß é igual à abcissa do ponto associado, ao eixo das abcissas também se chama eixo dos cosenos.
A linha das tangentes é uma linha vertical que contém o ponto (0,1), e a linha das co-tangentes é uma linha horizontal que contém o ponto (0,1).

Enquadramento do Seno e do Co-seno de um ângulo agudo

De acordo com as definições de seno e co-seno de um ângulo ß, temos que,

A tangente e a co-tangente de um ângulo ß podem tomar qualquer valor .

Nesta página poderá encontrar um pouco sobre:

1. Sinal das razões trigonométricas;
2. Razões trigonométricas dos ângulos 0º, 90º, 180º e 270º;
3. Fórmulas trigonométricas;
4. Relações entre as razões trigonométricas de:

Sinal das razões trigonométricas

O sinal de uma razão trigonométrica e da sua inversa depende exclusivamente do sinal das coordenadas do ponto P associado ao círculo trigonométrico.

Temos então:

	seno	co-seno	tangente	co-tangente
1ºQ	+	+	+	+
2ºQ	+	-	-	-
3ºQ	-	-	+	+
4ºQ	-	+	-	-

Razões trigonométricas dos ângulos 0°, 90°, 180° e 270°

Desenhemos um círculo trigonométrico e coloquemos as coordenadas dos pontos de intersecção do círculo com os eixos.

Como o seno é igual à ordenada do ponto associado, o co-seno é igual à abcissa do ponto associado, é imediata a construção do quadro seguinte:

ß	ß	seno	co-seno	tangente	co-tangente
0°	0	0	1	0	____
90°		1	0	____	0
180°		0	- 1	0	____
270°		- 1	0	____	0

Se algum dos denominadores é zero, não existe a razão trigonométrica respectiva.

Fórmulas Trigonométricas

Seja ß um ângulo qualquer de lado extremidade OP.

As coordenadas do ponto P no referencial ortogonal de origem O são (cos ß, sen ß).
Como o triângulo [OPP'] é o rectângulo, pelo teorema de Pitágoras podemos escrever

(sen ß)² + (cos ß)² = 1 ou mais simplesmente, sen² ß + cos² ß = 1.

Conclui-se, portanto, que, para todo o ß,

sen² ß + cos²ß=1 (Fórmula Fundamental da Trigomometria)

    Se dividirmos agora os membros da equação sen² ß + cos² ß = 1 por cos² ß,
vem:

   De modo análogo, se dividirmos agora ambos os membros da equação
       sen² ß + cos² ß = 1 por sen² ß, vem:

Demonstrámos, pois, que:

  As fórmulas trigonométricas relacionam umas razões com as outras.
No seu conjunto, as fórmulas trigonométricas permitem conhecer todas as razões trigonométricas de um ângulo ß, conhecendo-se apenas uma delas.

Relações entre as razões trigonométricas de:

Observando atentamente no círculo trigonométrico cada uma das situações em causa, é possível concluirmos algumas relações importantes entre as razões trigonométricas de certos ângulos:

Ângulos suplementares:
b e p - b

Os pontos P e P' do círculo trigonométrico, associados a b e p - b em relação ao eixo das ordenadas. Daí resulta que as ordenadas de P e P' são iguais e as suas abcissas são simétricas, isto é,

Ângulos que diferem de p: b e p + b

Os pontos P e P' do círculo trigonométrico, associados a b e a p + b, são simétricos em relação a O.

Daí resulta que as suas ordenadas e as suas abcissas são simétricas, isto é,

Ângulos simétricos:
b e - b

Os pontos P e P' do círculo trigonométrico, associados a b e a - b são simétricos em relação ao eixo das abcissas.

Daí resulta que as abcissas de P e P' são iguais e as suas ordenadas são simétricas, isto é,

Ângulos Complementares:
b e p/2 - b

Os pontos P e P' do círculo trigonométrico, associados a b e a p/2 - b são simétricos em relação à recta de equação y = x.

Daí resulta que a abcissa de um é a ordenada do outro e reciprocamente, isto é,

Ângulos que diferem de p/2: b e p/2 + b

Atendendo a que os pontos P'' e P' do círculo trigonométrico são simétricos em relação ao eixo das ordenadas e tendo em atenção as relações anteriores, resulta que a abcissa de P'' é simétrica da ordenada de P, e a ordenada de P'' é igual à abcissa de P, isto é,

Ângulos Complementares: b e
3p/2 - b

Facilmente se conclui que:

Ângulos que diferem de 3p/2: b e 3p/2 + b

Facilmente se conclui que:

Consideremos a seguinte situação:
Um equilibrista usava o seguinte esquema para mostrar as suas habilidades.

Quantos metros anda o equilibrista na subida? E na descida?
Para resolvermos o problema, considere a seguinte figura:

A resolução do problema mostra que, utilizando a altura do triângulo e as razões trigonométricas, podemos resolver problemas com triângulos não rectângulos.

Consideremos o triângulo [ABC].
A altura h do triângulo divide-o em dois triângulos rectângulos.

Temos:

Igualando os valores de h obtemos:

Se considerássemos a altura relativa ao vértice B teriamos concluído que

Logo, por (1) e (2) podemos escrever:

   O teorema dos senos, ou "lei dos senos", relaciona os lados e os ângulos opostos de um triângulo qualquer.
Esta relação que foi deduzida para um triângulo acutângulo é válida para qualquer triângulo.
    Se algum dos ângulos do triângulo é obtuso, atenda-se a que sen(180º-a) = sen a.
    Observemos a fórmula

Com a ajuda dela podemos resolver triângulos se:
- conhecermos dois lados e um ângulo oposto a um desses lados;
- conhecermos dois ângulos e um lado.

Como se conhecermos dois ângulos poderemos conhecer o terceiro (a soma dos três ângulos internos de um triângulo é 180º), não é necessário colocar restrições para o lado conhecido.