Ternos pitagóricos

O triângulo de lados 1, 3 e √10 é retângulo? Sim, pois



Durante toda a história antiga e mesmo até hoje, temos curiosidade em encontrar triângulos retângulos cujos lados são medidos por números inteiros. Todos nós sabemos que o triângulo de lados 3, 4 e 5 é retângulo, mas você sabia que o triângulo de lados 372, 925 e 997 é retângulo? 

Possivelmente não. Este é inclusive o triângulo retângulo de maior perímetro que tem lados menores que 1.000.

Então consideremos o seguinte questionamento:

“Como encontrar triângulos retângulos cujos lados tenham medidas inteiras?”

Sendo a, b e c inteiros positivos com b < c < a dizemos que (b, c, a) é um terno pitagórico se a² = b² + c². Assim, (3, 4, 5) e (5, 12, 13) são exemplos de ternos pitagóricos.

Um terno pitagórico (b, c, a) é chamado primitivo, quando b e c são primos entre si, ou seja, quando mdc(b, c) = 1 (ou seja, quando eles não são divisíveis entre si). Assim, (3, 4, 5) é um terno pitagórico primitivo. Naturalmente, qualquer terno da forma (3k, 4k, 5k) com k inteiro e maior que 1 é também pitagórico, mas não primitivo.


Uma fórmula que gera ternos pitagóricos

Sendo m e n inteiros positivos com m > n considere:



Veja que (b, c, a) é um terno pitagórico pois:



Assim, para qualquer escolha de números inteiros m e n, o terno (b, c, a) é pitagórico. Por exemplo, para m = 7 e n = 4 encontramos o terno pitagórico (33, 56, 65). Observe que, se nesta fórmula você atribuir para m e n valores ambos pares ou ambos ímpares, você encontrará um terno pitagórico não primitivo, pois todos os termos do terno serão pares. Se a sua escolha de m e n conduzir a valores de b e c que sejam primos entre si, você encontrará um terno pitagórico primitivo. Esta fórmula é atribuída a Platão (séc. 4 a.C.), mas não é única.

http://mbmatematica.blogspot.com.br/2011/02/ternos-pitagoricos.html