Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c (cateto oposto ao ângulo reto)

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1

Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

Vamos lá:

x = hipotenusa

12 e 9 são os catetos

Agora é só aplicar o teorema:

x² = 9² + 12²

x² = 81 + 144

x² = 225 ===> extraindo-se a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade:

√x² = √225

x = 15 ==> Eis o valor da hipotenusa

Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:

x² = 1² + 1²

x² = 1 + 1

x² = 2

√x² = √2

x = √2

√2 = 1,414213562373....

Exemplo 2

Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

x² + 20² = 25²

x² + 400 = 625

x² = 625 – 400

x² = 225

√x² = √225

x = 15

Exemplo 3

Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:

Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²

x² = 100 + 1600

x² = 1700

x = 41,23 (aproximadamente)

Por Marcos Noé

Graduada em Matemática

Equipe Brasil Escola

http://www.brasilescola.com/matematica/teorema-pitagoras.htm

Aplicações do Teorema de Pitágoras

Exemplo 1:

Sendo a, b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indica, justificando, aqueles que são retângulos:

a) a = 6; b = 7 e c = 13;

b) a = 6; b = 10 e c = 8.

Resolução:

"Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é retângulo".

Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.

logo o triângulo não é retângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras.

logo o triângulo é retângulo porque satisfaz o Teorema de Pitágoras.

Exemplo 2:

Calcula o valor de x em cada um dos triângulos retângulos:

Resolução:

a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

Exemplo 3:

Calcula as áreas das seguintes figuras.

Resolução:

Exemplo 4:

a) Qual era a altura do poste?

Resolução:

h = 4 + 5 = 9

Resposta: A altura do poste era de 9 m.

Exemplo 5:

b) Qual é a distância percorrida pelo berlinde.

Resolução:

Resposta: A distância percorrida pelo berlinde é de:

265 cm = 2,65 m.

Exemplo 6:

1. Uma escada com 6 metros de comprimento, está encostada a um muro com 4,47 metros de altura, de modo que uma das extremidades da escada encostada à parte de cima do muro.

1.1 Qual a distância da escada ao muro, medida sobre o chão?

Resolução:

Podemos encarar este problema de uma maneira "matemática ", resumindo-se à determinação da medida P de um dos catetos de um triângulo rectângulo de hipotenusa 6 e em que o outro cateto mede 4,47.

4,47cm

6 cm

P = ?

Aplicando o Teorema de Pitágoras :

6²=(4,47)²+x².Logo , x²= 16.0191.

Aplicando a raiz quadrada a x , vem :

x = 4.0024.

Exemplo 7:

3.Um navio partiu de um ponto A, percorreu 70 milhas para sul e atingiu o porto B. Em seguida percorreu 30 milhas para leste e atingiu o ponto C. Finalmente, navegou 110 milhas para o norte e chegou ao porto D.

3.1Quantas milhas teria poupado se fosse directamente do porto A para o porto D?

Resolução:

Vamos começar por fazer um esquema do percurso do navio, desde o porto A até ao porto D, traduzindo as distâncias pelos comprimentos dos segmentos.