ENEM - Posições de retas. Geometria

Introdução

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

Planos e retas

Um plano é um subconjunto do espaço R³ de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto, podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Duas retas (segmentos de reta) no espaço R³ podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Retas paralelas: Duas retas são paralelas se elas não possuem interseção e estão em um mesmo plano.

Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. As retas perpendiculares são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto.

Retas reversas: Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no chão de uma casa e uma reta s, não paralela a r, desenhada no teto dessa mesma casa.

Posições de pontos, retas e planos

Um plano no espaço R³ pode ser determinado por qualquer uma das situações:

Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta).
Um ponto e uma reta ou um segmento de reta que não contém o ponto.
Um ponto e um segmento de reta que não contém o ponto.
Duas retas paralelas que não se sobrepõe.
Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe.
Duas retas concorrentes.
Dois segmentos de reta concorrentes.

Posições de retas e planos

Há duas relações importantes, relacionando uma reta e um plano no espaço R³.

Reta paralela a um plano: Uma reta r é paralela a um plano no espaço R³, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

Reta perpendicular a um plano: Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R³, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.

Distância de um ponto a um plano

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento.

Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.

Posições entre planos

Planos concorrentes no espaço R³ são planos cuja interseção é uma reta.
Planos paralelos no espaço R³ são planos que não tem interseção.
Diedro: Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro.
Ângulo diedral: É ângulo formado por dois planos concorrentes. Para obter o ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.
Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).