Comprimentos, áreas e volumes

Janildo Arantes agosto 20, 2013


Unidade de comprimento

A unidade fundamental de medidas de comprimento é o metro, indicado por m. Dependendo do comprimento a ser medido, podemos utilizar seus múltiplos ou submúltiplos.

Alguns múltiplos e submúltiplos do metro
Nome Símbolo Valor em unidade SI Em notação cientifica
quilômetro km 1 000 m 103 m
hectômetro hm 1 00 m 102 m
decâmetro dam 1 0 m 10 m
decímetro dm 0,01 m 10-1 m
centímetro cm 0,01 m 10-2 m
milímetro mm 0,001 m 10-3 m

Exemplos

4,5 m = 4,5 x 10 dm = 54 dm
3,421 dam = 3,421 x 1000 cm = 3421 cm
726 m = 726/100 hm = 7,26 hm


Unidade de área
A unidade fundamental de medidas de área é o metro quadrado (m2).


Alguns múltiplos e submúltiplos do m2
Nome Símbolo Valor em unidade SI Em notação cientifica
quilômetro quadrado km2 1 000 000 m2 106 m2
centímetro quadrado cm2 0,0001 m2 10-4 m2
milímetro quadrado mm2 0,000001 m2 10-6 m2

Exemplos

5,34 m2 = 5,34 x 100 dm2 = 534 dm2
759 m2 = 759/10.000 hm2 = 0,0759 hm2



Unidade de volume
A unidade fundamental de medidas de volume é o metro cúbico (m3).


Alguns múltiplos e submúltiplos do m3
Nome Símbolo Valor em unidade SI Em notação cientifica
quilômetro cúbico km3 1 000 000 000 m3 109 m3
centímetro cúbico cm3 0,000001 m3 10-6 m3
milímetro cúbico mm3 0,000000001 m3 10-9 m3

Exemplos

3,15 m3 = 3,15 x 1.000 dm3 = 3150 dm3
8437,2 m3 = 8437,2 /1.000.000 cm3 = 0,0084372 cm3


Unidade de capacidade

Chamamos de capacidade de um recipiente ao volume de um líquido ou de um gás que esteja contido nesse recipiente. A unidade fundamental de medidas de capacidade é o litro (l).

Alguns múltiplos e submúltiplos do litro
Nome Símbolo Valor Em notação cientifica
Quilolitro kl 1 000 l 103 l
centilitro cl 0,01 l 10-2 l
mililitro ml 0,001 l 10-3 l

Relações importantes

1 l = 1 dm3
0,001 l = 1ml = 1 cm3
1000 l = 1kl = 1 m3



Unidade de massa

Na linguagem usual dizemos que: “tal pessoa pesa 50 quilos (quilogramas)”, na verdade o que estamos medindo é a massa do corpo. O peso de um corpo é uma grandeza física que varia de acordo com a força da gravidade, mas a sua massa é a mesma. O que as balanças nos fornecem é a massa que o corpo tem. A unidade fundamental de medidas de massa é o grama ( g ).

Alguns múltiplos e submúltiplos do grama
Nome Símbolo Valor Em notação cientifica
quilograma kg 1 000 g 103 g
centigrama cg 0,01 g 10-2 g
miligrama mg 0,001 g 10-3 g

Exemplos

4,325 kg = 4,325 x 100 dag = 432,5 dag
8394,5 mg = 8394,5/1.000 g = 8,3945 g







Perímetro, área e volume
19/04/2011



Esta postagem foi desenvolvida da seguinte forma:

1º Matéria retirada da internet de autor desconhecido

2º Texto sobre Geometria Básica retirada do site Geometria Elementar

3º 2 link que é interessante dar uma olhada

4º Vídeos aulas

Caso você queira acrescentar algo faça um comentário.

Espero que aproveitem bem e bons estudos!

Aproveito para pedir que baixe meu livro A Fortaleza do Centro e fazer um comentário e caso goste divulgar para seus amigos, se possível no facebook e twitter.

1º Matéria retirada da internet de autor desconhecido

Perímetro, área e volume
Perímetro

O que é perímetro? E como o calculamos?Perímetro é a medida do comprimento de um contorno.Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno que está de vermelho.



Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos somar todos os seus lados:
P = 100 + 70 + 100 + 70
P = 340 m

O perímetro da figura abaixo é o contorno dela, como não temos a medida de seus lados, para medir o seu perímetro devemos contorná-la com um barbante e depois esticá-lo e calcular a medida.


Por exemplo:


O perímetro da figura é a soma de todos os seus lados:

P = 10 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 + 2 +3

P = 18 + 4 + 9 + 5

P = 22 + 14

P = 36

A unidade de medida utilizada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de comprimento: metro, centímetro, quilômetro…

Área

Área é a medida de uma superfície.

A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado).

Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:

Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área.

A unidade de medida da área é: m2 (metros quadrados), cm2 (centímetros quadrados), e outros.

Se tivermos uma figura do tipo:

Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades.

No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.
A matéria acima foi retirada do site Mundo Educação

Volume



A pedra tem volume 3.

O volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo. Volume tem unidades de tamanho cúbicas (por exemplo, cm³, m³, in³, etc.) Então, o volume de uma caixa (paralelepípedo retangular) de comprimento T, largura L, e altura A é:

V = T x L x A

Sua unidade no Sistema internacional de unidades é o metro cúbico (m³). A seguinte tabela mostra a equivalência entre volume e capacidade. Contudo, não é considerado uma unidade fundamental do SI, pois pode ser calculado através dos comprimentos. A unidade mais comum utilizada é o litro.
VOLUMECAPACIDADE
metro cúbico quilolitro
decímetro cúbico litro
centímetro cúbico mililitro


2º Texto sobre Geometria Básica retirada do site Geometria Elementar


Geometria Básica


Volume de um sólido é a quantidade de espaço que esse sólido ocupa. Nesse cálculo, temos que ressaltar as três dimensões do sólido, observando o seu formato. O entendimento de volume é usado, mesmo que intuitivamente, em nossas ações no dia-a-dia, por exemplo: antes de estacionar um carro, calculamos mentalmente o espaço do carro e verificamos se tal espaço é compatível com as dimensões do carro, ao instalar uma TV em um móvel, conferimos, primeiro, se o espaço disponível pode comportar a TV, entre outros exemplos.



Alguns sólidos geométricos são formados por polígonos e esses polígonos recebem o nome de faces do polígono. Já o segmento que une duas faces do polígono recebe o nome de aresta do sólido. Assim como no cálculo da área, o cálculo do volume de um sólido depende do formato do sólido. Mas, de forma geral, o volume de um sólido geométrico é calculado a partir do produto de sua base por sua altura. Por enquanto, calcularemos o volume de alguns sólidos, como: o paralelepípedo retângulo, o cubo e o cilindro.

Paralelepípedo Retângulo


O paralelepípedo retângulo é um sólido cujas seis faces são retângulos. Para calcular o volume do paralelepípedo retângulo é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura. Mas, como a base do paralelepípedo retângulo tem o formato retangular, exprimimos o valor de sua área por b x c. Portanto, se multiplicarmos o valor da área da base pela altura (a) do paralelepípedo retângulo, acharemos o valor do volume (V) desse sólido:

V = a x b x c

Cubo


O cubo é um sólido geométrico cujas seis faces são quadrados de mesmo lado. Para calcular o volume do cubo é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura. Mas, como a base do cubo é um quadrado de lado a, o valor de sua área é, então, definido pelo lado ao quadrado (a²). Sendo assim, se multiplicarmos o valor da área da base pela altura (a) do cubo, acharemos o valor do volume (V) desse sólido:

V = a x a x a ou V = a³

Cilindro


Cilindro é um sólido geométrico que pode ser entendido como um círculo prolongado até uma altura h. O cilindro possui duas faces iguais e de formato circular. Para calcular o volume do cilindro, deve-se fazer o produto da área de sua base pela altura. No caso do cilindro, sua base é um círculo, portanto a área de sua base é igual a (pi) x r². Multiplicando esse valor pela altura (h) do cilindro, achamos o seu volume (V):

V = (pi) x r² x h

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segunda-feira, 12 de maio de 2008




Área é a região plana interna delimitada pelos lados de um polígono. Tal conceito é amplamente usado no dia-a-dia, como na medição de um terreno, na delimitação de um espaço, entre outros. O valor da área de um polígono varia de acordo com seu formato.



Cada polígono tem uma forma peculiar para calcular sua área. Exemplificaremos alguns conhecidos, tais como: retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango e círculo.

Retângulo


Já sabemos que o retângulo possui dois lados iguais chamados de base e outros dois lados iguais chamados de altura. Para sabermos o valor da área de um retângulo (A), devemos multiplicar a medida da base (b) pela medida da altura (h).

A = b x h

Quadrado


No quadrado, podemos aplicar o mesmo raciocínio usado para calcular a área do retângulo, multiplicando a medida da base pela medida da altura, mas, como no quadrado a medida de todos os lados é igual (l):

A = l x l ou A = l²

Paralelogramo


Se observarmos a figura ao lado, podemos notar que o paralelogramo é semelhante a um retângulo com os lados inclinados. Se tirarmos uma das partes inclinadas do paralelogramo e a enxertarmos no outro lado, formaremos um retângulo. Assim, a área do paralelogramo é calculado da mesma forma da área do retângulo, ou seja, multiplica-se o valor da base (b) pelo valor da altura (h).

A = b x h

Triângulo


No caso do triângulo, pode-se notar que ele é exatamente metade de um retângulo, portanto, num retângulo cabem dois triângulos, ambos de mesma área. Por conseguinte, a área do triângulo é metade da área do retângulo, ou seja:

A = b x h / 2

Losango


Ao traçar as diagonais, maior (D) e menor (d) do losango, o dividimos em quatro triângulos de áreas iguais, onde cada um tem a oitava parte da área do retângulo de base igual ao valor da diagonal menor do losango e de alura igual ao valor da diagonal maior. Logo, a área do losango é igual a quatro vezes a área de um dos quatro triânglos, resultando na metade da área desse retângulo. Portanto:

A = D x d / 2

Trapézio


Dado um trapézio, como o da figura ao lado, contendo a base menor (b), a base maior (B) e a altura (h). Se ao lado desse trapézio colocarmos um segundo trapézio, idêntico ao primeiro, mas invertido, ou seja, sua base menor voltada para cima e sua base menor voltada para baixo, formaremos um paralelogramo de base igual à soma das bases do trapézio e de mesma altura do trapézio. Assim, encontramos a área desse paralelogramo multiplicando sua base pela altura. Note que o valor achado é igual a área dos dois trapézios idênticos. Portanto, para calcular a área do trapézio, basta dividir o valor encontrado para a área do paralelogramo.

A = [(B + b) x h] / 2

Círculo


Considere um círculo de raio r. Divida-o em várias partes iguais, corte-o de forma que os pedaços sejam de formato triangular e abra a figura, formando um retângulo de base igual a 2x(pi)x r e altura igual ao próprio raio r do círculo. Portanto a área desse retângulo é achada multiplicando sua base pela altura. Deve-se notar que a área desse retângulo é o dobro da área do círculo, sendo assim, acha-se a área do círculo dividindo a área do retângulo por 2.

A = (pi) x r²

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quarta-feira, 7 de maio de 2008




Perímetro é a soma das medidas dos lados de um polígono. Notoriamente, tal conceito é muito simples, basta verificar se todos os lados estão representados pelas mesmas unidades de comprimento e somá-los. Alguns casos valem ser ressaltados:



Retângulo


No retângulo, a medida de suas duas bases (b) são iguais, assim como a medida de suas duas alturas (h). Como perímetro é a soma de todos os lados, portanto seu perímetro é:

P = 2 x b + 2 x h

Polígonos Regulares

Nos polígonos regulares, tem-se uma particularidade: a medida de todos os lados é semelhante. Assim, o perímetro desses polígonos será o produto do número de lados (n) pela medida do lado (l), ou seja:

P = n x l

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terça-feira, 6 de maio de 2008




Quando falamos de medidas de volume, tem-se que mencionar que tal conceito vem sendo usado desde a antiguidade e, atualmente, convive-se com ele no dia-a-dia. Diversas são as atividades onde são usados o conhecimento sobre volume, como na construção de uma barragem, faz-se necessário calcular o volume de concreto para a obra; em um caminhão de transporte, onde é necessário conhecer o volume de carga total desse caminhão; na construção de uma piscina, onde é preciso conhecer o volume de água que a piscina suporta; em um botijão de gás, onde nele está marcado o volume de gás que ele contém, etc.



A unidade padrão de volume é o metro cúbico (m³), já que a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Para calcular o valor de um volume, pode-se usar os múltiplos ou submúltiplos da unidade padrão de volume, se o valor for muito maior ou menor de que o metro cúbico, respectivamente. Os múltiplos são o quilômetro cúbico (km³), o hectômetro cúbico (hm³) e o decâmetro cúbico (dam³); os submúltiplos são o decímetro cúbico (dm³), o centímetro cúbico (cm³) e o milímetro cúbico (mm³).

Cada unidade de medida de volume vale 1000 vezes a unidade imediatamente inferior. Para fazer-se uma mudança de unidade entre as medidas de volume, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento um pouco mais viável, pode-se deslocar a vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança. Para cada unidade mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a esquerda ou para a direita.

Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 1000 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a direita.
Ex: 0,0059 cm³ para mm³
Haverá a mudança para uma unidade de volume inferior, assim, desloca-se a vírgula três casas para a direita.
Portanto, o valor será de 0,0059 x 1000 = 5,9 mm³

Menor -> Maior: deve-se dividir por 1000 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a esquerda.
Ex: 526000 dm³ para dam³
Haverá a mudança para duas unidades de volume superiores, assim, desloca-se a vírgula seis casas para a esquerda.
Portanto, o valor será de 526000 : 1000000 = 0,526 dam³

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segunda-feira, 5 de maio de 2008




Não se sabe ao certo quando foi usado pela primeira o cálculo da área de uma superfície. O que se sabe é que é algo muito antigo, antes mesmo de Cristo. No Egito Antigo, essa noção era utilizada para calcular o valor do imposto que um agricultor tinha que pagar ao faraó pelo uso da terra nas proximidades do rio Nilo. O valor de tal imposto era proporcional à extensão de terra que o agricultor possuía.



Atualmente, podemos citar vários exemplos de aplicação do cálculo da área de uma superfície: para saber a extensão de um terreno rural ou urbano, para estimar a área da superfície de um rio, para calcular o valor da área de uma figura geométrica, etc.

Como a unidade padrão de comprimento é o metro (m), a unidade padrão de superfície é o metro quadrado (m²). Assim como na unidade de comprimento, a unidade de superfície tem seus múltiplos e submúltiplos, que são usados para medir superficies maiores ou menores do que o metro quadrado. Os múltiplos são o quilômetro quadrado (km²), o hectômetro quadrado (hm²) e o decâmetro quadrado (dam²); os submúltiplos são o decímetro quadrado (dm²), o centímetro quadrado (cm²) e o milímetro quadrado (mm²).

Cada unidade de medida de superfície vale 100 vezes a unidade imediatamente inferior. Para fazer-se uma mudança de unidade entre as medidas de superfície, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento mais simples, pode-se deslocar a vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança. Para cada unidade mudada, a vírgula se desloca duas casas decimais para a esquerda ou para a direita.

Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 100 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca duas casas decimais para a direita.
Ex: 0,09 m² para cm²
Haverá a mudança para duas unidades de superfície inferiores, assim, desloca-se a vírgula quatro casas para a direita.
Portanto, o valor será de 0,09 x 10000 = 900 cm²

Menor -> Maior: deve-se dividir por 100 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca duas casas decimais para a esquerda.
Ex: 2000 dm² para hm²
Haverá a mudança para três unidades de superfície superiores, assim, desloca-se a vírgula seis casas para a esquerda.
Portanto, o valor será de 2000 : 1000000 = 0,002 hm²

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domingo, 6 de abril de 2008




Durante muito tempo as unidades de medida eram muitas, variavam de acordo com o povoado. Por exemplo: um povoado mais ao Norte usava um palmo de mão como referência para medir comprimento e um outro povoado mais ao Sul usava o pé como unidade. Assim, tornava-se inviável estabelecer relações comerciais, o que impedia o progresso de grande parte dos povoados. Devido a essa dificuldade, tornou-se necessário estabelecer uma unidade padrão de comprimento, algo que fosse aceito por todos. Isso aconteceu no final do século XVIII, quando reformadores franceses escolheram uma comissão de cinco matemáticos para que elaborassem um sistema padronizado, foi quando definiu-se o metro (m) como unidade internacional de comprimento e seu valor é igual a fração 1/300.000.000 da distância percorrida pela luz, no vácuo em um segundo.







Dependendo do que vai ser medido, fica inviável medir usando o metro. Portanto deve-se usar medidas maiores ou menores do que o metro, múltiplos ou submúltiplos, respectivamente. Os múltiplos são o quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam). Já os submúltiplos são o decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).

Para fazer-se uma mudança de unidade entre as medidas de comprimento, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento mais simples, pode-se deslocar a vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança.

Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 10 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca uma casa decimal para a direita.
Ex: 3,7 dm para mm
Haverá a mudança para duas unidades de comprimento inferiores, assim, desloca-se a vírgula duas casas para a direita.
Portanto, o valor será de 3,7 x 100 = 370 mm

Menor -> Maior: deve-se dividir por 10 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca uma casa decimal para a esquerda.
Ex: 680 cm para dam
Haverá a mudança para três unidades de comprimento superiores, assim, desloca-se a vírgula três casas para a esquerda.
Portanto, o valor será de 680 : 1000 = 0,68 dam

Postado por Luiz Girão às 12:39 1 comentários






segunda-feira, 3 de março de 2008




As primeiras considerações humanas a respeito da Geometria originaram-se da necessidade de “medir a terra”. As atividades incluíam observações, comparações e relações entre formas e tamanhos.



Podemos observar diversos momentos em que a Geometria foi empregada pelos povos considerados primitivos: na construção de objetos de decoração, de utensílios, de enfeites e na criação de desenhos para a pintura corporal. Formas geométricas, com grande riqueza e variedade, aparecem em cerâmicas e pinturas de diversas culturas. Nestas manifestações artísticas já apareciam formas como triângulos, quadrados e círculos, além de outras mais complexas.

Mas, somente no período grego, entre 600 e 300 a.C., que a Geometria se firmou como um sistema organizado, e muito disso se deve a Euclides de Alexandria, professor, matemático e escritor, que publicou, por volta de 325 a.C., Os Elementos, uma obra com treze volumes, propondo um sistema inédito no estudo da Geometria.

Postado por Luiz Girão às 14:40 0 comentários

3º 2 link que é interessante dar uma olhada


Para aprofundar mais este assunto calculando em cima de figuras geométricas sugiro que acesse os links abaixo: Faculdade Mackenzie Livraria Cultura 4º Vídeos aulas Coloquei alguns vídeos que seria interessante dar uma olhada também Cálculo da área: Cálculo de Volume: 



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