Ache a área da região limitada pela parábola y² = 2x - 2 e pela reta y = x – 5.

Bom, o problema está nesse tal y² ....

Se é uma parábola, não deveria ser x²??? Não necessariamente!

É uma parábola, mas ela esta "deitada". Uma forma de fazer seria "desdeitando" a parábola. Mas como? Por mais estranho que pareça... se eu inverter os valores de x e de y nas duas equações e calcular a área ela dará exatamente igual. isso por que eu só estaria enxergando de outra maneira a mesma figura.

Então a equação y² = 2x - 2 transformar-se-ia em x² = 2y – 2 è 2y = x² + 2

e a equação y = x - 5 viraria x = y - 5

Chegamos a essas 2 equações:

y = x² /2  + 1

y = x + 5

Agora basta calcular a área entre essa duas funções....

Primeiro, intersecção:

x² / (2 + 1) = x + 5

x² + 2 - 2x - 10 = 0

x² - 2x - 8 = 0

x = -2 ou x = 4

Esboçando os gráficos dessas duas funções vemos que y = x + 5 é maior que y = x² / 2 + 1 no intervalo de -2 ate 4.

Então devemos calcular:

(integral de -2 até 4) x+5 - (x² / 2 + 1) =

(integral de -2 até 4) x+5 - x² / 2 - 1 =

1/2 (integral de -2 até 4) 2x + 10 - x² - 2 =

1/2 (integral de -2 até 4) - x² +2x +8 =

1/2 . ( - x³ / 3 + 2x²/2 + 8x) (de -2 até 4) =

1/2 . ( - 4³/3 + 4² + 8.4 - (- (-2)³/3 + (-2)² - 2.8)) =

1/2 . ( - 64/3 + 16 + 32 - (8/3 + 4 - 16)) =

1/2 . ( - 72/3 + 16 + 32 - 4 +16) =

1/2 . ( - 24 + 64 - 4) =

1/2 . ( 36) = 18

Resp: 18

Fonte(s):

http://img33.imageshack.us/img33/9641/fi…

Bom, para você  certificar-se  aqui estão os gráfico.

Essa parábola deitada é a função y² = 2x - 2 e a reta que corta ela é a reta y = x – 5....

Já esta parábola em verde é a que usamos para calculara integral e a reta que cruza ela é a y = x + 5

Observe que a área é a mesma e mais: que a figura é como se estivéssemos virando o gráfico.. como se o eixo das ordenadas virasse o eixo das abscissas. Por isso inverter x e y dá certo!!