Inequação-quociente

Inequação-quociente é toda inequação na qual há um quociente de termos. Note que o quociente deve ser comparado à zero, para que seja possível avaliar os sinais dos fatores. Por ser quociente, os termos do denominador não podem assumir o valor de $0$ . A inequação é da forma:

$\frac{\prod_{i=1}^{p} P_{i}(x)}{\prod_{i=1}^{q} Q_{i}(x)} \star0$ , onde $P_{i}(x)$ e $Q_{i}(x)$ são polinômios.

Exemplo:

$\frac{(x-3)}{(x^2-4)}>0$

Resolução

Há dois métodos principais de resolução da Inequação-Quociente: o método de decomposição (método matemático) e o do Quadro de Sinais (método prático).

Decomposição

Decompõe-se o produto em seus valores possíveis, obtêm-se o Conjunto Solução de cada valor e acha-se o valor geral possível:

$\frac{[f(x)]}{[g(x)]}>0 \Leftrightarrow (f(x)>0 \land g(x)>0) \lor (f(x)<0 \land g(x)<0)$
$\frac{[f(x)]}{[g(x)]} \le0 \Leftrightarrow (f(x) \ge0 \land g(x)<0) \lor (f(x) \le0 \land g(x)>0)$

etc...

Note que $\land$ é o e lógico, equivalente à Interseção e que $\lor$ é o ou lógico, equivalente à União.

Exemplo

$\frac{(x-2)}{(2x-3)} \ge0$

$(x-2) \ge0 \land (2x-3)>0$

$x-2 \ge0 \Leftrightarrow x \ge2 \Leftrightarrow S_1$

$2x-3>0 \Leftrightarrow 2x>3 \Leftrightarrow x>\frac{3}{2} \Leftrightarrow S_2$

$S_1 \cap S_2 \Leftrightarrow x \ge2 \land x>\frac{3}{2} \Leftrightarrow x \ge2 \Leftrightarrow S_3$

$(x-2)<0 \land (2x-3)<0$

$x-2 \le0 \Leftrightarrow x \le2 \Leftrightarrow S_4$

$2x-3<0 \Leftrightarrow 2x<3 \Leftrightarrow x<\frac{3}{2} \Leftrightarrow S_5$

$S_4 \cap S_5 \Leftrightarrow x \le2 \land x<\frac{3}{2} \Leftrightarrow x<\frac{3}{2} \Leftrightarrow S_6$

$S_3 \cup S_6 \Leftrightarrow x\ge 2 \lor x<\frac{3}{2} \Leftrightarrow S$

Quadro de Sinais

Imagem representando a disposição dos fatores e das raízes no Quadro de Sinais.

Passos para a resolução da inequação-quociente pelo quadro se sinais:

1º) Obtêm-se o valor das raízes de cada fator da inequação-quociente, igualando-os a zero.

2º) Após isso, estuda-se o sinal de cada fator, considerando que os termos do quociente não podem resultar em 0.

3º) Então, faz-se um quadro de sinais, como mostrado na imagem, sendo $r_1$ a raiz de $f(x)$ e $r_2$ a raiz de $g(x)$ .

4º) O quadro determina o sinal de cada fator, dependendo do $x$ , para cada fator e, posteriormente, do próprio quociente, utilizando as regras de intervalos reais.

Exemplo

Resolução da Inequação-Produto $\frac{(x-3)}{(7-x)}\ge0$ .

$\frac{(x-3)}{(7-x)}\ge 0 \Leftrightarrow 3\le x < 7\Leftrightarrow S$

Observando a imagem, concluimos que o trecho em que o produto assume valor positivo é aquele que compreende os valores de $x$ entre $3$ e $7$ , desconsiderando o caso em que $(7-x)$ é igual a $0$ .