O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como mostra a figura:
O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as arestas destacadas em vermelho.
É interessante observar que no tronco de pirâmide as arestas laterais são congruentes entre si; as bases são polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre si; e a altura de qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco.
Cálculo das áreas do tronco de pirâmide.
Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e base menor, e a área da superfície lateral. De acordo com a base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas observe que na superfície lateral sempre teremos trapézios isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por exemplo, se a base da pirâmide for um hexágono regular, teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral.
A área total do tronco de pirâmide é dada por:
St = Sl + SB + Sb
Onde
St → é a área total
Sl → é a área da superfície lateral
SB → é a área da base maior
Sb → é a área da base menor
Cálculo do volume do tronco de pirâmide.
A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide é obtida fazendo a diferença entre o volume de pirâmide maior e o volume da pirâmide obtida após a secção transversal que produziu o tronco. Colocando em função de sua altura e das áreas de suas bases, o modelo matemático para o volume do tronco é:
Onde,
V → é o volume do tronco
h → é a altura do tronco
SB → é a área da base maior
Sb → é a área da base menor
Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Equipe Brasil Escola
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Equipe Brasil Escola
http://www.brasilescola.com/matematica/tronco-piramide.htm
1 - (PUC – Camp) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede 2√3cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é
a) 24√3
b) 36√3
c) 48√3
d) 72√3
e) 144√3
Resolução:
O volume da pirâmide é:
Vp = Ab.h
3
Precisamos da área da base para achar o volume.
Têmos na base um hexágono regular, já que a pirâmide é regular. O lado desse hexágono com todos os lados iguais é 2√3cm e sua área será:
A = 6.L²√3
4
A = 6.(2√3)²√3
4
A = 6.4.3√3
4
A = 18√3cm²
Agora fica fácil determinar o volume da pirâmide:
Vp = 18√3.8
3
Vp = 48√3cm³
Gabarito Letra: C
1) Um tronco de pirâmide tem como bases dois quadrados de lados 5 cm e 12 cm. A altura desse tronco é de 8 cm. Vamos calcular o volume desse tronco.
R =
V = 8/3 * (144 + 60 + 25)
V = 8/3 * 229
V = (8 / 3) * 229
2) As bases de um tronco de pirâmide regular são quadrados de lados 8 m e 2 m, respectivamente. A aresta lateral do tronco mede 5 m. Determine o volume do tronco.
A pedidos:
V = h ( B + √ Bb +b ) / 3 onde:
h=altura do tronco
B = área da base maior
b = da menor
Maior = D = 8 √2
Menor = d = 2 √2
Dessa forma:
(4 √2 - √2)² + h² = 5²
(4 √2)² - 2 * 8 √2 * 2 √2 + (2 √2)² + h² = 5²
32 – 16 + 2 + h² = 25
18 – 25 = h²
h² = 7
h = √7
h = √7
B = 8 * 8 = 64
b = 2 * 2 = 4
V = h ( B + √ Bb +b ) / 3 =
V = √7 ( 64 + √64*4 + 4 ) / 3
V = √7 ( 64 + 16 + 4 ) / 3
V = √7 ( 28) / 3
========================================
V = √7 ( 28) / 3 = 24,70
========================================
(*) calculo do h
na figura , do site, veja o trapézio COBM
BC = 5 (aresta lateral)
BM = √2 (**)
CO = 4 √2 (***)
MO = h
Projetando B sobre reta CO, você tem o ponto Q
Triangulo BCQ é retângulo; onde :
CQ = CO - BM = 4 √2 - √2 = 3 √2
BC² = BQ² + CQ² === > 5² = h² + ( 3√2) ² === > h = √7
(**) BM é a metade da diagonal do quadrado menor de lado 2
diagonal do quadrado = lado √2
BM = 2√2 / 2 = √2
(***) CO é a metade da diagonal do quadrado maior de lado 8
CO = 8√2 / 2 = 4√2
3) Um tronco de pirâmide tem como bases dois quadrados de lados 8 cm e 12 cm, respectivamente. A altura do tronco é 21 cm. Calcule o volume do tronco.
R = 2128 cm³
4) Uma peça de cristal tem a forma de um tronco de pirâmide de bases quadradas com 30 cm e 40 cm de arestas das bases. Qual será o volume desse cristal sabendo que sua altura é de 15 cm?
R = 18500 cm³
5) Uma estátua está colocada sobre um pedestal de concreto em forma de pirâmide hexagonal regular. As arestas das bases são 10 m e 4 m, e sua altura é de 6 m. Qual foi o volume de concreto utilizado para construir este pedestal?
R = 468 m³
6) Uma cesta de lixo tem a forma de um tronco de pirâmide. Seu fundo é um quadrado de 20 cm de lado e sua parte superior é um quadrado de 30 cm de lado. A altura do cesto é de 36 cm. Qual o volume do cesto?
R = 22 800 cm³
7) MACKENZIE – SP – Qual é o volume de um tronco de pirâmide regular quadrangular, sabendo que os lados das bases medem 10 cm e 4 cm e a altura , 4cm?
a) 205 cm³ b) 206 cm³ c) 207 cm³ d) 208 cm³ e) 209 cm³
R = D
8) PUC – SP – Um tronco de pirâmide de bases quadradas tem 2814 cm³ de volume. A altura do tronco mede 18 cm e o lado do quadrado da base maior mede 20 cm. Então, o lado do quadrado da base menor mede:
a) 8 cm b) 6 cm c) 3 cm d) 12 cm e) 14 cm
R = C
9) Os raios das bases de um tronco de cone são 3 m e 2 m. A altura do tronco é de 6 m. Calcule seu volume.
R = 114 cm³
10) Uma vasilha tem a forma de um tronco de cone. Suas dimensões são: diâmetros 80 cm e 40 cm e profundidade de 30 cm. Qual o volume dessa vasilha em litros? Use .
R = 84 litros
11) Um copo tem as medidas 6 cm e 8 cm de diâmetros e 9 cm de altura. Qual é o volume de água desse copo em milímetros cúbicos?
R = 348,54 ml
12) Um depósito de combustível tem a forma de um tronco de cone. Suas dimensões são : 10m e 20 m de diâmetros e 21 m de altura. Se apenas 30% de sua capacidade estão ocupados por combustível, qual é a quantidade, em litros, de combustível existente no depósito?
R – 1.153.900 litros
13) Num tronco de cone, os perímetros das bases são 16 e 8 e a geratriz mede 5cm. Calcule a altura, a área lateral e o volume desse tronco.
R = 3 cm; 188,4 cm² ; 351,68 cm³
14) A área lateral de um tronco de cone é 40 cm². Os raios das bases são 2 cm e 6 cm. Calcule a geratriz, a altura e o volume do tronco.
R = 5 cm; 3 cm e 163,28 cm³
15) A soma de todas as arestas de um cubo é 36 cm. Uma esfera está inscrita nesse cubo. Qual é a área da superficie esférica?
R = 28,26 cm²
16) UFMT – Considere um cilindro circular reto de perímetro da base 16 cm que está inscrito em um cubo que, por sua vez, está inscrito em uma esfera. Determine a área da superfície dessa esfera.
R = 1607,68 cm²
17) UFOP – MG – Um cone circular reto está inscrito em uma esfera de volume 36 cm³. Sabendo que a altura do cone mede 4 cm, determine sua área lateral.
R = 43,51 cm²
18) MACKENZIE – SP – Seja 36 o volume de uma esfera circunscrita a um cubo. Então, a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é:
a) b) c) d) e)
R = E
19) A que distancia do vértice devemos cortar um cone de revolução de 15 cm de altura, por um plano paralelo à base, de modo que o volume do cone destacado seja do volume do primeiro?
R = 5 cm
20) MACKENZIE – Seja 36 cubo volume de uma esfera circunscrita a um cubo. Assim, qual será a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo ?
R =
2 - (ITA - SP) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4m e de área da base 64m² vale:
a)128 m²
b)64√2 m²
c)135 m²
d)60√5 m²
e)32(√2+1) m²
Resolução:
Na questão, como a pirâmide é quadrangular regular, sua base é um quadrado, com área 64m², já que a área do quadrado é lado ao quadrado, esse lado será 8:
Perceba que a altura que a questão fornece na pergunta é a altura da pirâmide, para a área lateral precisamos encontrar a altura da face, que é a apótema da pirâmide. Fazendo pitágoras entre a altura do triângulo, a apótema da base e a apótema da pirâmide, encontramos a altura dessa face:
Ap² = 4²+4²
Ap = √32
Ap = 4√2
A área de cada face lateral será:
A = b.h
2
A = 8.4√2
2
A = 16√2 m²
A área lateral será a soma das áreas de todas as quatro faces laterais, que são iguais.
A = 4.16√2 m²
Alateral = 64√2 m²
Gabarito Letra: B
http://www.matematicaemexercicios.com/2010_11_01_archive.html
TRONCO DE PIRÂMIDE E TRONCO DE CONE
EXERCÍCIOS SOBRE TRONCO DE PIRÂMIDE; TRONCO DE CONE E SÓLIDOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS:1) Um tronco de pirâmide tem como bases dois quadrados de lados 5 cm e 12 cm. A altura desse tronco é de 8 cm. Vamos calcular o volume desse tronco.
R =
V = 8/3 * (144 + 60 + 25)
V = 8/3 * 229
V = (8 / 3) * 229
V = (8 / 3) * 229
V = 610,666667 m³
2) As bases de um tronco de pirâmide regular são quadrados de lados 8 m e 2 m, respectivamente. A aresta lateral do tronco mede 5 m. Determine o volume do tronco.
A pedidos:
V = h ( B + √ Bb +b ) / 3 onde:
h=altura do tronco
B = área da base maior
b = da menor
Diagonais:
Maior = D = 8 √2
Menor = d = 2 √2
Dessa forma:
(4 √2 - √2)² + h² = 5²
(4 √2)² - 2 * 8 √2 * 2 √2 + (2 √2)² + h² = 5²
32 – 16 + 2 + h² = 25
18 – 25 = h²
h² = 7
h = √7
h = √7
B = 8 * 8 = 64
b = 2 * 2 = 4
V = h ( B + √ Bb +b ) / 3 =
V = √7 ( 64 + √64*4 + 4 ) / 3
V = √7 ( 64 + 16 + 4 ) / 3
V = √7 ( 28) / 3
========================================
V = √7 ( 28) / 3 = 24,70
========================================
(*) calculo do h
na figura , do site, veja o trapézio COBM
BC = 5 (aresta lateral)
BM = √2 (**)
CO = 4 √2 (***)
MO = h
Projetando B sobre reta CO, você tem o ponto Q
Triangulo BCQ é retângulo; onde :
CQ = CO - BM = 4 √2 - √2 = 3 √2
BC² = BQ² + CQ² === > 5² = h² + ( 3√2) ² === > h = √7
(**) BM é a metade da diagonal do quadrado menor de lado 2
diagonal do quadrado = lado √2
BM = 2√2 / 2 = √2
(***) CO é a metade da diagonal do quadrado maior de lado 8
CO = 8√2 / 2 = 4√2
3) Um tronco de pirâmide tem como bases dois quadrados de lados 8 cm e 12 cm, respectivamente. A altura do tronco é 21 cm. Calcule o volume do tronco.
R = 2128 cm³
4) Uma peça de cristal tem a forma de um tronco de pirâmide de bases quadradas com 30 cm e 40 cm de arestas das bases. Qual será o volume desse cristal sabendo que sua altura é de 15 cm?
R = 18500 cm³
5) Uma estátua está colocada sobre um pedestal de concreto em forma de pirâmide hexagonal regular. As arestas das bases são 10 m e 4 m, e sua altura é de 6 m. Qual foi o volume de concreto utilizado para construir este pedestal?
R = 468 m³
6) Uma cesta de lixo tem a forma de um tronco de pirâmide. Seu fundo é um quadrado de 20 cm de lado e sua parte superior é um quadrado de 30 cm de lado. A altura do cesto é de 36 cm. Qual o volume do cesto?
R = 22 800 cm³
7) MACKENZIE – SP – Qual é o volume de um tronco de pirâmide regular quadrangular, sabendo que os lados das bases medem 10 cm e 4 cm e a altura , 4cm?
a) 205 cm³ b) 206 cm³ c) 207 cm³ d) 208 cm³ e) 209 cm³
R = D
8) PUC – SP – Um tronco de pirâmide de bases quadradas tem 2814 cm³ de volume. A altura do tronco mede 18 cm e o lado do quadrado da base maior mede 20 cm. Então, o lado do quadrado da base menor mede:
a) 8 cm b) 6 cm c) 3 cm d) 12 cm e) 14 cm
R = C
9) Os raios das bases de um tronco de cone são 3 m e 2 m. A altura do tronco é de 6 m. Calcule seu volume.
R = 114 cm³
10) Uma vasilha tem a forma de um tronco de cone. Suas dimensões são: diâmetros 80 cm e 40 cm e profundidade de 30 cm. Qual o volume dessa vasilha em litros? Use .
R = 84 litros
11) Um copo tem as medidas 6 cm e 8 cm de diâmetros e 9 cm de altura. Qual é o volume de água desse copo em milímetros cúbicos?
R = 348,54 ml
12) Um depósito de combustível tem a forma de um tronco de cone. Suas dimensões são : 10m e 20 m de diâmetros e 21 m de altura. Se apenas 30% de sua capacidade estão ocupados por combustível, qual é a quantidade, em litros, de combustível existente no depósito?
R – 1.153.900 litros
13) Num tronco de cone, os perímetros das bases são 16 e 8 e a geratriz mede 5cm. Calcule a altura, a área lateral e o volume desse tronco.
R = 3 cm; 188,4 cm² ; 351,68 cm³
14) A área lateral de um tronco de cone é 40 cm². Os raios das bases são 2 cm e 6 cm. Calcule a geratriz, a altura e o volume do tronco.
R = 5 cm; 3 cm e 163,28 cm³
15) A soma de todas as arestas de um cubo é 36 cm. Uma esfera está inscrita nesse cubo. Qual é a área da superficie esférica?
R = 28,26 cm²
16) UFMT – Considere um cilindro circular reto de perímetro da base 16 cm que está inscrito em um cubo que, por sua vez, está inscrito em uma esfera. Determine a área da superfície dessa esfera.
R = 1607,68 cm²
17) UFOP – MG – Um cone circular reto está inscrito em uma esfera de volume 36 cm³. Sabendo que a altura do cone mede 4 cm, determine sua área lateral.
R = 43,51 cm²
18) MACKENZIE – SP – Seja 36 o volume de uma esfera circunscrita a um cubo. Então, a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é:
a) b) c) d) e)
R = E
19) A que distancia do vértice devemos cortar um cone de revolução de 15 cm de altura, por um plano paralelo à base, de modo que o volume do cone destacado seja do volume do primeiro?
R = 5 cm
20) MACKENZIE – Seja 36 cubo volume de uma esfera circunscrita a um cubo. Assim, qual será a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo ?
R =
Volume do tronco de pirâmide
Marcelo Rigonatto
Pirâmide
O volume do tronco de pirâmide é obtido fazendo a diferença entre o volume da pirâmide original e o volume da pequena pirâmide formada após a intersecção do plano. Dessa maneira, obtemos a fórmula que determina o volume do tronco de qualquer pirâmide.
Fórmula do volume do tronco de pirâmide:
Onde
h → é a altura do tronco de pirâmide.
AB → é a área da base maior.
Ab → é a área da base menor.
Observe os seguintes exemplos para compreender como utilizar a fórmula.
Exemplo 1. Calcule o volume do tronco de pirâmide abaixo.
Solução: Observe que as bases desse tronco de pirâmide são quadrados e sua altura é de 6 cm. Para calcular o volume de um tronco de pirâmide qualquer, precisamos da área das duas bases e da medida da altura. Assim, teremos:
AB = 102 = 100 cm2
Ab = 42 = 16 cm2
h=6cm
Substituindo esses valores na fórmula do volume, obtemos:
Exemplo 2. A base maior de um tronco de pirâmide é uma das faces de um cubo de 125 cm3 de volume. Sabendo que a base menor desse tronco é um quadrado de 2 cm de lado e sua altura é de 9 cm, calcule seu volume.
Solução: Como a base maior do tronco é uma das faces de um cubo, sabemos que sua base é um quadrado. Foi dado que o volume desse cubo é de 125 cm3, assim, cada aresta do cubo mede 5 cm. Dessa forma, a base maior do tronco é um quadrado de 5 cm de lado. Logo, teremos:
AB = 52 = 25 cm2
Ab = 22 = 4 cm2
h = 9 cm
Substituindo na fórmula do volume, teremos:
![[2^24 + 2^30]/65 = x^x](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDK0elX3csGKExdHvk67b1Q-I81hW4kQDloEJ6Z6g5HhUzYzLg8gybPtqIEwsIHEC2Z3paYRXuRyfaR3sL_EhVE2HAPAHy28-0QClNe8M0ShpLM0ixm-BRK5sqm-kbnJDAUeqHE9sfNEYP3Y7UbCZ87CtsZ0adG5yAc5kwxCo3LnJCDr33oM98C-XUV4d2/w100/Blog%20do%20Professor%20Janildo%20-%20Copia.png)
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