Questão 5 - (ANA - 2009 / ESAF) Três esferas rígidas estão imóveis em uma superfície plana horizontal, sendo que cada esfera está encostada nas outras duas. Dado que a maior delas tem um raio de 4cm e as outras duas têm raios de 1cm, os pontos em que as esferas tocam o chão formam um triângulo cuja área é:

a) cm²
b) cm²
c) cm²
d) cm²
e) cm²



Nessa questão, vamos usar os desenhos para uma melhor visualização. Primeiro, vamos ter uma vista de cima para ter uma idéia de como será formado o triângulo:

Vemos aqui que teremos um triângulo isósceles, que as distâncias entre os pontos que as esferas menores tocam o chão e o ponto em que a esfera maior toca o chão são iguais. Vamos agora fazer um corte e ver como ficam as distâncias:

Vemos aqui, que a distância entre os pontos que as esferas menores tocam o chão é igual a soma de seus raios, portanto 2 cm. O que temos que calcular agora, é a distância x (distâncias entre os pontos que as esferas menores tocam o chão e o ponto em que a esfera maior toca o chão). Podemos projetar x no sentido da seta até a linha tracejada e teremos um triângulo retângulo com catetos 3 cm e x e com hipotenusa 5 cm. Assim temos:
x² + 3² = 5²
x² + 9 = 25
x² = 25 - 9
x² = 16
x = 4
Agora, vamos visualizar o triângulo que queremos calcular a área:

Chamando a altura em relação a base de comprimento 2 cm de "h", temos que:
h² + 1² = x²
h² + 1² = 4²
h² + 1 = 16
h² = 16 - 1
h =
Calculando agora a área deste triângulo, temos:
Área = (base x altura)/2
Área = (2 x )/2
Área = Portanto, resposta letra "d".

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