O Teorema de Green

O Teorema de Green e aplicações

Professor Janildo Arantes - Jamal Malik - desde 16 de agosto de 2009

Olá a todos! Tudo certo por aí? Bom, andei sumido por uns dias por conta do carnaval, mas voltei. E no artigo de hoje, vamos comentar sobre o Teorema de Green e suas aplicações. Mas, quem foi Green? Por que falar sobre ele? Essas e outras perguntas que você deve estar se fazendo, caso não conheça esse grande matemático nem sua contribuição para a humanidade, serão respondidas mais adiante.

George Green foi um matemático e físico inglês, filho de um padeiro de Nottingham na Inglaterra, que passou muito tempo de sua adolescência ajudando o seu pai, trabalhando. Segundo relatos históricos ele seria autodidata, pelo simples fato de ter frequentado o ensino regular por apenas dois anos! Quando tinha 35 anos, Green publicou seu primeiro artigo que descrevia uma análise matemática sobre eletricidade e magnetismo em que ele utilizava o teorema que vamos discutir hoje. Nessa época, pouca importância deram a ele pela quantidade da tiragem do estudo, que foi bem reduzida.

Algum tempo depois, William Thomson descobriu esse artigo e conseguiu publicá-lo em um jornal que o garantiu uma maior visibilidade. Hoje se sabe que Green exerceu influência sobre o trabalho de grandes nomes, como Stokes e Maxwell. Legal hein?
Então vamos tentar entender a contribuição deste gênio para o mundo.

Será mesmo que Green havia escrito algo realmente fantástico? Vamos adiante, fazer uma análise mais matemática de seu teorema, e perceber de que forma também, ele viria impulsionar a criação de uma “engenhoca” bastante interessante e usual, chamada planímetro.

Análise/descrição matemática do Teorema de Green
O Teorema de Green diz que, sendo D um conjunto com interior não-vazio e contido em R^2(no plano), e a fronteira desse conjunto a imagem de uma curva C fechada, simples e orientada no sentido anti-horário, então a integral sobre esta linha é igual a uma integral dupla, sendo que:

Vamos resolver uma questão para percebermos melhor como funciona essa definição.

Exemplo :

Resposta:

Ao ler o problema, primeiro vamos tentar perceber se o mesmo é passível de ser resolvido pelo Teorema de Green. Traçando a curva C, percebe-se que ela é fechada,simples,orientada no sentido anti-horário,e nos delimita um certo conjunto D que não é vazio, e ainda contido no R^2. Percebeu? Todas as exigências para a aplicação do Teorema estão satisfeitas, então basta seguir a receita! Comparando com a definição, vemos que P(x,y)=x^4 e Q(x,y)=xy. A partir daí, já podemos através de uma integral dupla descobrir o valor de D, tendo posse apenas da integral que representa a linha na forma exata.Então:

Ok, deu pra entender? Então voltando,sabemos que a integral dupla também serve para encontrarmos a área de uma dada região não é mesmo? Para que isso seja verdade, é preciso que a função que vamos integrar seja igual a 1. Portanto, no nosso caso, se a diferença das derivadas parciais da função Q em relação a x, e de P em relação a y resultasse em uma constante, poderíamos tirá-la da integral e assim ficaríamos com uma constante k multiplicada por uma integral dupla de função 1, ou seja, uma constante multiplicada pela área cercada pela linha que chamamos de C. Logo, multiplicando essa integral por k^-1, seria possível determinar a área de regiões planas limitadas por uma dada curva através do Teorema de Green! Muito bom!

Agora, vou mostrar um pouco sobre o planímetro! Aquela engenhoca que mencionei no início. O planímetro, possui dois braços capazes de variar o ângulo entre eles, e duas extremidades. Uma fica fixa em algum ponto (no plano, vamos usar o (0,0)), e a outra é capaz de percorrer uma linha fechada que delimita alguma região. E essa ponta capaz de percorrer a linha, possui uma rodinha, com um contador que mede o número de voltas da mesma para “andar” por sobre a linha. Ao final, o contador indicará a área delimitada pela curva. E como o contador indicará a área? Pelo Teorema de Green! Observem mais ou menos um esboço do planímetro:

E uma outra aplicação interessante, é que o princípio do Teorema de Green é também utilizado para o mapeamento de áreas feito por GPS.
Bem, por hoje fico por aqui. Desculpas pela demora! Um grande abraço a todos, e quaisquer anormalidades, estou à disposição.

Até a próxima!