Raiz quadrada *

Matematicamente, a raiz quadrada de um número real não negativo x é o número real não negativo que, quando multiplicado por si próprio, iguala x. A raiz quadrada de x é simbolizada por √x. Por exemplo: $\sqrt{16} = 4\,$ porque 4 × 4 = 16, e √2 = 1.41421... . As raízes quadradas são importantes para a resolução de equações quadráticas (equações do 2º grau). A extensão da função raiz quadrada a números negativos leva à criação dos números imaginários e ao corpo dos números complexos.

O primeiro uso do símbolo da raiz quadrada remonta ao século XVI. Pensa-se que a sua origem está na letra r minúscula, primeira letra deradix (em latim, raiz).

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de um segmento de recta dado determinar um outro cujo comprimento seja igual à raíz quadrada do inicial^[1].

As seguintes propriedades da função raiz quadrada são válidas para todos os números reais positivos x e y:Propriedades

$\sqrt{x}+\sqrt{y} = \sqrt{x+y+2\sqrt{xy}}$

$\sqrt{x}-\sqrt{y} = \sqrt{x+y-2\sqrt{xy}}$ sempre que x ≥ y

$\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}$

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

$\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ para todo o número real x (ver valor absoluto)

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

A aplicação da função raiz quadrada a um número racional dá em geral origem a um número algébrico; √x é racional se e somente se x puder ser representado por uma razão entre dois quadrados perfeitos. Por exemplo, √2 é irracional (ver artigo raiz quadrada de dois).

Geometricamente, a função raiz quadrada transforma a área de um quadrado no comprimento do seu lado.

Admita-se que x e a são reais, e que x² = a, e que se quer determinar x. Um erro frequente é aplicar a função raiz quadrada e concluir que x = √a. Tal não é verdade uma vez que a raiz quadrada de x² não é x, mas sim o seu valor absoluto |x| (uma das propriedades acima mencionadas). Portanto, apenas se pode concluir que |x| = √a, ou, de outra forma, que x = ±√a.

Quando se pretende provar que a função raiz quadrada é contínua ou diferenciável, ou no cálculo de certos limites, a seguinte propriedade é de grande utilidade:

$\sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$

Tal é válido para quaisquer x e y não negativos, sendo pelo menos um deles diferente de zero.

A função f(x) = √x tem o seguinte gráfico:

A função é contínua para todo o x não negativo, e diferenciável para todo o x positivo. (não é diferenciável para x = 0 uma vez que o declive datangente à curva nesse ponto é +∞. A sua derivada é dada por

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}$

As séries de Taylor para x = 1 podem ser encontradas usando o teorema binomial:

$\sqrt{x+1}=1 + \sum_{n=1}^\infty { (-1)^{n+1} (2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1} }x^n$

$= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots$

para |x| <>

Meios de calcular a Raiz quadrada

Calculadoras

As calculadoras portáteis tipicamente implementam boas rotinas para computar a função exponencial e o logaritmo natural, e elas computam a raiz quadrada de x usando a identidade: $\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x}$ A mesma identidade é explorada quando computamos raízes quadradas comtábuas de logaritmos ou réguas de cálculo.

Método babilônio

Um algoritmo frequentemente usado para aproximar √n é conhecido como "método babilônio" (porque, especula-se, este era o método usado na Mesopotâmia para calcular a raiz quadrada^[2], e é o mesmo obtido ao aplicar-se o Método de Newton à equação $x^2 - n = 0\,$ . Para se encontrar a raiz quadrada de um número real n, processa-se como a seguir:

Inicie com um número positivo arbitrário r (preferencialmente próximo da raiz);
Substitua r pela média de r e n/r;
Repita o segundo passo para obter uma aproximação melhor.

Este algoritmo é quadraticamente convergente, que signfica que o número de dígitos corretos de r dobra a cada repetição.

Ele, entretanto, não dá a raiz exata, mas dá uma ótima aproximação. Abaixo, um exemplo do método para melhor compreensão

Método Babilônio (exemplificado)

O método babilônio é um método que dá uma aproximação da raiz quadrada. Ou seja não é um método perfeito, apresenta uma margem de erro (muito pequena, desprezível para cálculos que não necessitam muita precisão. De fato, dependendo da aproximação todas as casas decimais estarão corretas) . Mas se for para cálculos simples, é bom, pois não é necessário tanto rigor.

Digamos que se queira extrair a raiz quadrada de 66.

Ache o quadrado perfeito que mais se aproxima com o número.

5²=25

6²=36

7²=49

8²=64

9²=81

Nesse caso o quadrado que mais se aproxima é 64. Nota: Usa-se sempre o quadrado menor que o número procurado, mesmo que o quadrado maior seja mais próximo.

Extraia a raiz quadrada do quadrado que mais se aproximou. A raiz quadrada de 64 é 8. Nesse exemplo chamaremos 8 como A.

Divida o número original por A, até que se tenha o dobro de casas decimais que A.

66:8 = 8,2

Nesse exemplo chamaremos 8,2 como B

Somamos A com B e dividimos por 2. Esse número chamaremos de C.

8 + 8,2 = 16,2

16,2 : 2 = 8,1

Agora dividimos o número original (nesse caso 66) por C até que se tenha o dobro de casas decimais de C. O resultado chamaremos de D.

66 : 8,1 = 8,148

Somamos C e D e dividimos por 2.Esse número chamaremos de E.

8,124

Essa seria a raiz quadrada de 66. Poderíamos dividir o 66 por E e continuar esse mesmo processo, só que isso acabaria por dar algumas imprecisões. E como geralmente não se necessita uma raiz quadrada precisíssima, então podemos dizer que é desnecessário prosseguir. Mas caso queira continuar, o algoritmo continua o mesmo e você pode tentar chegar á 10 ou 12 casas decimais. Mas o resultado seria um pouco impreciso.

Então podemos dizer que a raiz quadrada de 66 é aproximadamente 8,124. Ao testarmos numa calculadora: 8,124038405... Ou seja esse método é bom para achar a raiz quadrada.

Um algoritmo exato semelhante ao da divisão longa

Este método, apesar de muito mais lento que o método Babilônio, tem a vantagem de ser exato: dado um número que tem uma raíz quadrada cuja representação decimal termina, então o algoritmo termina e produz a raiz quadrada correta após um número finito de passos. Ele pode ser usado, portanto, para checar se um dado número é um quadrado perfeito.

Escreva o número em decimal e divida-o em pares de digitos, começando do ponto. Os números são colocados de uma maneira similar ao algoritmo de divisão longa e a raíz quadrada final aparecerá acima do número original.

Para cada iteração: Traga para baixo o par o mais significativo dos dígitos ainda não usados e adicione-os a todo o restante. Este é o valor atual consultado em etapas 2 e 3. Se r denotar a parte do resultado encontrado assim distante, determine o maior digito x que não faz y = x(20r + x) para exceder o valor atual. Coloque o dígito novo x na linha do quociente. Subtraia y do valor atual para dar forma a um restante novo. Se o restante for zero e não houver não mais dígito para trazer para baixo o algoritmo terminou. Se não continue com etapa 1.

Embora demonstrado aqui para números da base 10, o procedimento trabalha para algumas bases, incluindo a base 2. Na descrição acima,20 meios dobram a base de número usada, no exemplo de binário isto seriam realmente 100 . que o algoritmo está no fato muito mais fácil de executar na base 2, como em cada etapa somente os dois dígitos 0 e 1 têm que ser testados.

Equação de Pell

A equação de Pell é um método para encontrar aproximações racionais de raízes quadradas das integrais.

Encontrando Raízes quadradas usando aritmética mental

Baseado na Equação de Pell's este é um método para obter a Raiz quadrada simplesmente subtraindo números ímpares.

Ex: Para obter $\sqrt{27}$ nós começamos com a seguinte sequência:

$27 - 1 = 26$
$26 - 3 = 23$
$23 - 5 = 18$
$18 - 7 = 11$
$11 - 9 = 2$

5 passos foram tomados e isso nos leva que a parte inteira da raiz quadrada de 27 é 5.

$2\times 100 = 200$ e $5\times 20 + 1 = 101$

$200 - 101 = 99$

O próximo número é 1.

$99\times 100 = 9900$ e $51\times 20 + 1 = 1021$

$9900 - 1021 = 8879$
$8879 - 1023 = 7856$
$7856 - 1025 = 6831$
$6831 - 1027 = 5804$
$5804 - 1029 = 4775$
$4775 - 1031 = 3744$
$3744 - 1033 = 2711$
$2711 - 1035 = 1676$
$1676 - 1037 = 639$

O próximo número é 9.

O resultado nos dá 5.19 com uma aproximação da raiz quadrada de 27.

Método das Frações Continuadas

Irracionais Quadráticos, que são os números envolvendo raízes quadradas na forma (a+√b)/c, são compostos por períodos de frações continuadas. Isto faz com que elas sejam fáceis de serem calculadas recursivamente, dado o período. Por exemplo, para calcular √2, nós temos que usar o fato de que √2-1 = [0;2,2,2,2,2,...], e usar a relação recursiva: a_n+1=1/(2+a_n) com a₀=0 para obter √2-1 dada uma precisão especificada por n níveis de recursividade, e adicionar 1 ao resultado para obter √2.

Raiz quadrada de números complexos

Para todo número complexo z não-nulo existem exatamente dois números w tais que w² = z. A definição usual de √z é como segue: se z = rexp(iφ) é representado em coordenadas polares com -π < φ ≤ π, então fazemos √z = √r exp(iφ/2). Isto definido, a função raíz quadrada éholomórfica em todo ponto exceto nos números não-positivos reais (onde ela não é nem contínua). A série de Taylor acima para √(1+x) continua válida para números complexos x com |x| <>

Quando o número complexo está na forma retangular, a seguinte fórmula pode ser usada:

$\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} \pm i \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}}$

onde o sinal da parte imaginária da raiz é o mesmo que o sinal da parte imaginária do número original.

Perceba que, por causa da natureza descontínua da função raiz quadrada no plano complexo, a regra √(zw) = √(z)√(w) é em geral falsa. Se for tomada erroneamente como verdadeira, esta regra pode levar a numerosas "provas" erradas, como por exemplo a seguinte prova real que mostra que -1 = 1:

$-1 = i \times i = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \times -1} = \sqrt{1} = 1$

A terceira igualdade não pode ser justificada.

Porém, a regra pode estar errada apenas até um fator -1, √(zw) = ±√(z)√(w), é verdadeiro para ambos ± tanto + como - (mas não ambos ao mesmo tempo). Perceba que √(c²) = ±c, portanto √(a²b²) = ±ab e finalmente √(zw) = ±√(z)√(w), com o uso de a = √(z) e b = √(w).

Raízes quadradas de matrizes e operadores

Se A é uma matriz positiva definida (ou um operador positivo definido), então existe exatamente uma matriz positiva definida (idem para operador) B tal que B² = A; definimos √A = B.

Mais genericamente, para cada matriz ou operador normal A existem operadores normais B tais que B² = A. Em geral, há vários operadores Bpara cada A e a função raiz quadrada não pode ser definida para operadores normais de uma maneira satisfatória.

Raiz quadrada dos 20 primeiros números inteiros positivos

√ 1 = 1

√ 2 ≈ 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462

√ 3 ≈ 1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909

√ 4 = 2

√ 5 ≈ 2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638

√ 6 ≈ 2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457

√ 7 ≈ 2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230

√ 8 ≈ 2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924

√ 9 = 3

√10 ≈ 3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639

√11 ≈ 3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609

√12 ≈ 3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818

√13 ≈ 3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293

√14 ≈ 3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307

√15 ≈ 3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937

√16 = 4

√17 ≈ 4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338

√18 ≈ 4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386

√19 ≈ 4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203

√20 ≈ 4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418

Ver também

Matemática - Algoritmo para o cálculo de raízes quadradas - Irracionalidade da raiz de três

04/11/2010 - Rose disse...

Prove que raiz quadrada de três é irracional

25/11/2010 - D.A. RESOLVE

Rose, boa tarde. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-la em sua dúvida que trata de irracionalidade da raiz quadrada de três.

O primeiro passo é aprender o algoritmo que calcula a raiz quadrada de qualquer número. Este processo é muito pouco conhecido e não é mais ensinado na maioria das escolas. Como exemplo, utiliza-se o próprio número três, vê-se:

Este processo continua, indefinidamente, e não se consegue obter uma dízima periódica ou um número racional, por este motivo a raiz quadrada de três é irracional.