Matriz (matemática) *

Matriz (matemática)

Na matemática, uma matriz é uma tabela de m x n símbolos sobre um corpo F, representada sob a forma de um quadro com m linhas e n colunas é utilizado, entre outras coisas, para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

Organização de uma matriz

Notações e definições de Matrizes

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m(i) linhas e n(j)colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.

Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como A_i,j ou A[i,j].

Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 × n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m × 1(uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.

Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R (linguagem de programação), etc) ou a partir de 0 (C (linguagem de programação) e seus dialetos). Por exemplo, o elemento A(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.

A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

Nesse exemplo, o elemento a_{1 2} é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo,

a i j = i x j

, para i de 1 a 15 e j de 1 a 25, define a matriz 15x25

$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5\end{bmatrix}$ .

Algumas definições

A transposta de uma matriz A_{m × n} é a matriz A^t_{n × m} em que $a^{t}_{ij} = a_{ji}$ , ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da nlinha, tornar-se-ão elementos da m coluna. Em linguagem grosseira: é só trocar linha por coluna e vice-versa.

Exemplo: $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, A^t = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$

Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n × n, chama-se de diagonal principal os elementos a_ij onde i = j, para i de 1 a n.

A matriz identidade I_n é a matriz quadrada n × n que tem todos os membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posições.

Exemplo: $I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ .

A única matriz identidade que não contém zero é a matriz identidade de ordem 1:

$I_{1} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}$

Uma matriz A é simétrica se A = A^t. Isso só ocorre com matrizes quadradas.

Operações envolvendo matrizes

subtração de um número com uma matriz, e nem divisões envolvendo matrizes.

]
Multiplicação por um escalar

A multiplicação é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Para multiplicar um número k qualquer por uma matriz m×n A, basta multiplicar cada entrada a_ij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também m×n e b_ij = k.a_ij. Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

Por exemplo:

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

Adição e subtração entre matrizes sexo

Dado as matrizes A e B do tipo m por n, sua soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A +B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].

Por exemplo:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

Para melhorar a forma de calcular, você pode reescrever a segunda matriz, revertendo seus elementos, onde o elemento (-1) passará para (1) e o elemento (2) passará para (-2) e assim sucessivamente. Após feito isso, além de fazer A-B, você usará A+B.

Lembre-se: Você só pode fazer isso com Matriz negativa, onde recebe o sinal negativo, por exemplo: em -A+B, o A que poderá ser reescrito.

Multiplicação de matrizes

Multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) dada por: Amxn. Bnxp = ABmxp

$(AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + ... + A[i,n] B[n,j] \!\$

para cada par i e j.

Por exemplo: que é praticamente igual à raiz quadrada)

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:

z A e B m×n e matriz C k×m ("distribuição à esquerda").

É importante notar que a comutatividade não é geralmente garantida; isto é, dados as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente AB ≠ BA.

Algoritmo para a multiplicação de uma matriz A por uma matriz B, sendo o resultado gravado numa matriz C:

void multiply_matrix(int **A, int **B, int *C){   register unsigned i;     for (i=0; i<linhas(A); i++){      for (j=0; j<colunas(B); j++){       &C[i][j]=0;       for (x=0; x<colunas(A); x++){         &C[i][j]+=A[i][x]*B[x][j];       }     }   } }

Dado um problema de Multiplicação de 2 matrizes N X N.

Pelo método trivial, a complexidade no pior caso seria O(n³);

Sabemos assim que a complexidade deste problema não deve superar O(n³), uma vez que existe um algoritmo desta complexidade que o resolve;

Este limite superior de um algoritmo pode mudar se alguém descobrir um algoritmo melhor. Isso de fato aconteceu com o algoritmo de Strassen, que resolveu o problema com uma complexidade de

O (n l o g 7)

, que seria o novo limite superior do problema de multiplicação de matrizes;

Outros pesquisadores melhoraram ainda mais este resultado. Atualmente o melhor resultado é o do algoritmo de CopperSmith e Winogradde O(n^2.376);

O algoritmo de CopperSmith e Winograd é de O(n^2.376) mas o limite inferior é de Ω(n²). Portanto não é ótimo. Este limite superior ainda ser melhorado

Propriedades

Determinante

O determinante é uma propriedade matricial útil na resolução de sistema de equações lineares (que sempre podem ser representados através de matrizes), além de outras aplicações matemáticas.

Característica

A característica de uma matriz é um inteiro não negativo, que representa o número máximo de linhas (ou colunas) da matriz que sãolinearmente independentes^[1]. De acordo com o teorema de Kronecker, temos que a característica de uma matriz B é C se e somente se:

Existe pelo menos uma submatriz c*c cujo determinante é diferente de zero.

Toda submatriz quadrada de ordem superior a c tem determinante zero.

Um menor de uma matriz é o determinante de uma de suas submatrizes. Logo, B tem a característica C quando pelo menos uma de suas submatrizes tem um determinante C não nulo (seu menor) e todo menor de ordem superior é igual a zero.

Se c for não nulo, então c é o maior inteiro não-negativo tal que B possui pelo menos uma submatriz

c * c

com determinante diferente de zero. De acordo com a definição .

Ver também

O conjunto das matrizes n×m sobre um corpo F com as operações de soma de matrizes e multiplicação de escalar por matriz forma umespaço vetorial de dimensão nm sobre F.

O espaço vetorial das matrizes n×n sobre um corpo F com a operação de multiplicação de matrizes forma uma álgebra associativa com elemento identidade sobre o corpo F.