Divisão de Polinômios *

Divisão de Polinômios

Por Thomas

Dividir um polinômio f(x) (dividendo) por um g(x) (divisor diferente de 0) consiste em dividir f por g e determinar novos polinômios q(x) (quociente) e r (resto).

Assim temos que f(x) = g(x).q(x) + r(x) e que o grau de q(x) será sempre menor que f(x).

Se r(x) = 0 dizemos que a divisão é exata, ou ainda que o polinômio f(x) é divisível por g(x).

Método de divisão da chave (análogo ao numérico)

Exemplo:

• Primeiro deve-se escolher o primeiro termo do quociente, que deve ser multiplicado pelos termos do divisor.

• Segundo passo é passar o inverso do resultado para subtrair do polinômio.

• Agora deve-se repetir o primeiro passo, escolher o termo conveniente para multiplicar pelo primeiro termo do divisor para que fique igual ao primeiro termo do polinômio que foi resultado do primeira operação.

• Repetir o mesmo processo do segundo passo.

Assim temos que q(x) = x + 4 e que r(x) = – x + 5.

Dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Quando necessitarmos dividir um polinômio por um binômio poderemos utilizar este dispositivo.

Por exemplo ao dividirmos o polinômio p(x) = 2x⁴ – 2x² + 3x +1 por x – 1. (devem ser colocados todos os coeficientes. nesse caso precisaremos adicionar o coeficiente zero, que seria de x³)

Na segunda linha, repetimos o primeiro número da linha acima (no caso, o número 2). Em seguida, multiplica-se esse número pela raiz e somamos o próximo número da linha superior. Repetir essa operação até que acabem os números da linha superior.

Assim o quociente da divisão é 2x³ + 2x² + 0x¹ + 3 e o resto é 4.

Veja também:

Divisão de polinômios

Por Andreia Aparecida Costa Silva

Mestrado profissional em Matemática (UFSJ, 2015)
Graduada em Matemática (UFMG, 1989)

Faça os exercícios!

Dados dois polinômios A(x) e B(x) ≠ 0, a divisão do polinômio A(x) por B(x) é encontrar dois polinômios Q(x) e R(x) de forma que se verifiquem as seguintes condições:

A(x) = B(x) . Q(x) + R(x)

grau de R(x) < grau de B(x)

A(x) é o dividendo, B(x) é o divisor, Q(x) é o quociente e R(x) é o resto da divisão.

Se R(x) = 0 (polinômio nulo), temos que:

A(x) = B(x) . Q(x)

[Math Processing Error]

Dizemos, nesse caso, que A(x) é divisível por B(x).

O método geral utilizado para se efetuar a divisão de dois polinômios é apresentado a seguir.

Como exemplo, vamos dividir o polinômio A(x) = 2x⁴ – 3x³ + x – 1 por B(x) = x² – 2x + 3.

Seguiremos o seguinte roteiro:

1º) Escrevemos os dois polinômios em ordem decrescente de grau.

2º) Completamos o dividendo, caso falte algum termo de grau intermediário, através do coeficiente zero.

3º) Utilizando o mesmo algoritmo da divisão numérica, dividimos o 1º termo de A(x) pelo 1º termo de B(x).

4º) Multiplicamos o quociente obtido por B(x) e subtraímos o resultado de A(x), encontrando o 1º resto parcial.

5º) Dividimos o 1º termo do 1º resto parcial pelo 1º termo de B(x). Multiplicamos o quociente obtido por B(x) e subtraímos do 1º resto parcial, obtendo o 2º resto parcial.