Determinantes

Determinante de uma matriz quadrada

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:

A=	a11	a12
	a21	a22

definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:

det(A) = a₁₁ a₂₂ - a₂₁ a₁₂

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:

A=	a11	a12	a13
	a21	a22	a23
	a31	a32	a33

definimos o determinante de A, como:

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₃₂a₁₃ + a₃₁a₁₂a₂₃

- a₁₁a₃₂a₂₃ - a₂₁a₁₂a₃₃ - a₃₁a₂₂a₁₃

Regra prática de Sarrus

Dada a matriz A de ordem 3:

A=	a11	a12	a13
	a21	a22	a23
	a31	a32	a33

Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.

a11	a12	a13	a11	a12
a21	a22	a23	a21	a22
a31	a32	a33	a31	a32

Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais quedescem devem ter o sinal positivo.

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

Produto cor amarela +a11a22a33 Produto cor verde +a12a23a31 Produto cor azul +a13a21a32

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais quesobem devem ter o sinal negativo.

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

Produto cor rosa -a11a22a33 Produto cor bege -a12a23a31 Produto cor khaki -a13a21a32

O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₃₂a₁₃ + a₃₁a₁₂a₂₃ - a₁₁a₃₂a₂₃ - a₂₁a₁₂a₃₃ - a₃₁a₂₂a₁₃

Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.

Propriedades dos determinantes

Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2.

1. Se I_n é a matriz identidade, então:
   det(I_n) = 1
2. Se N é uma matriz nula, então:
   det(N) = 0
3. Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então:
   det(A) = 0
4. A matriz A bem como a sua transposta A^t, possuem o mesmo determinante de A, isto é:
   det(A^t) = det(A)
5. Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então:
   det(B) = k det(A)
6. Se B=kA, onde k é um escalar, então:
   det(B) = kⁿ det(A)
7. Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então:
   det(B) = - det(A)
8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então:
   det(A) = 0
9. Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma constante, então:
   det(A) = 0
10. Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:
    det(A) = 0
11. Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma delas, o determinante de A será uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz.
12. Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k.