Binômio de Newton
Em matemática, binômio de Newton permite escrever na forma canônica o polinômio correspondente à potência de um binómio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto deve-se salientar que o Binómio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade o que Newton estudou foram regras que valem para (a + b)n quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.[1]
Casos particulares do Binómio de Newton são:
O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:
Notação e fórmula
Os coeficientes são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:
- , onde e são inteiros, e é o fatorial de x.
O coeficiente binomial corresponde, em análise combinatória, ao número combinações de n elementos agrupados k a k.
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O triângulo de Pascal
Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal.
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais , onde representa o número da linha (posição vertical) e representa o número da coluna (posição horizontal).
A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do triângulo de Pascal é igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1.
O príncipio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do triângulo de Pascal:
Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que os descreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII. O matemático persa Omar Khayyám, pode ter sido o primeiro a descobrir.
Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:
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Demonstração do teorema do Binômio de Newton
Antes de começar, vale lembrar que:
- (1)
Sejam x, y elementos de um anel comutativo( xy=yx) e n um inteiro não-negativo.
Demonstraremos por indução matemática.
-
- Base:
-
- Recorrência:
Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1:
Da hipótese de indução:
Por distributividade de produto sob a soma:
Que pode ser reescrito usando (1):
Usando a formula do triângulo de Pascal:
Reagrupando o somatório:
E segue o resultado.
Aplicações
O binómio de Newton pode ser usado para derivar diversas expressões matemáticas, através da escolha adequada de x e y. Por exemplo:
- , onde são os polinómios de Bernstein.
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