Parte 1 - Números relativos.
POTÊNCIAS DE NÚMEROS RELATIVOS
* Definição
Dado certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido i^n = potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i).
Exemplos de fixação da definição:
Potência = 2³ = 2 x 2 x 2 = ( 03 fatores) = 8
Potência = 3^5 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = (05 fatores) = 243
Notação: 23 = 8
2 - BASE
3 - EXPOENTE
8 - POTÊNCIA
Notação: 3^5 = 243
3 - BASE
5 - EXPOENTE
243 - POTÊNCIA
Alguns casos particulares:
1) Expoente igual a um (1) (1/2)1 = ½; 51 = 5; 31 = 3.
2) Expoente igual à zero (0) 50 = 1; 60 = 1; 70 = 1.
Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será igual a 1.
Mais Exemplos de fixação da definição:
1) 5^3 = 5 x 5 x 5 = 125
2) 4^ 0 = 1
3) 10^0 = 1
4) 20^1 = 20
* PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS
- DIVISÃO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE
Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.
Exemplos de fixação:
1) 2^4 ÷ 2 = 2^(4-1) = 2^3
2) 3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3²
3) 4^6 ÷ 4^3 = 4^(6-3) = 4^3
Temos então: Im ÷ In = I m-n , I#0
- PRODUTO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE
Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.
Exemplos de fixação:
1) 2^4 x 2 = 2^(4+1) = 2^5
2) 3^5 x 3^2 = 3^(5+2) = 3^7
3) 4^6 x 4^3 = 4^(6+3) = 4^9
Temos então: Im x In = Im+n
- POTÊNCIA DE POTÊNCIA
Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.
Exemplos de fixação:
1) (2³)4 = 2^12 , pois = 2³ x 2³ x 2³ x 2³
2) (3²)^^3 = 36 , pois = 3² x 3² x 3²
3) (4²)^5 = 4^10 , pois = 4² x 4² x 4² x 4² x 4²
Temos então: (In)m = Inxm
- POTÊNCIA DE UM PRODUTO
Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência.
Exemplos de fixação:
1) (b5ya3 )4 = b20y4a12
2) (c2d2e5 )2 = c4d4e10
3) (d3a4 )3 = d9a12
Temos então: (I.T)m = I m x T m
- POTÊNCIA COM EXPOENTE NEGATIVO
Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.
Exemplos de fixação:
1) 2-4 = 1/24 = 1/16
2) 3-3 = 1/33 = 1/27
3) 4-2 = 1/42 = 1/16
Temos então: (I)-m = 1/I m I#0
- POTÊNCIA DE FRAÇÃO
Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência.
1) (a/b)4 = a4/b4 = b#0
2) (a2 /b4)3 = a6/b12 = b#0
3) (a3 /b2)3 = a9/b6 = b#0
Temos então: (a/b)m = am/bm b #0
- POTÊNCIA DE 10
Todas as potências de dez (10) têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas :
1) Para se elevar 10n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direito do número 1.
Exemplos de fixação:
a) 10^4 = 10000
b) 10^6 = 1000000
c) 10^7 = 10000000
2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.
Exemplos de fixação:
a) 10-4 = 0,0001
b) 10-6 = 0,000001
c) 10-7 = 0,0000001
3) Decompondo números em potências de 10
Exemplos de fixação (números maiores que 1):
a) 300 = 3.100 = 3.102
b) 7000 = 7.1000 = 7.103
c) 10.000 = 1.10000 = 1.104
Exemplos de fixação (números menores que 1):
a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10-3
b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10-4
c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10-5
- POTÊNCIA DE NÚMEROS RELATIVOS
a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo.
Veja: (+2)2 = 4 / / (-2)4 = 16
b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência.
Veja: (+3)3 = 27 / / (-3)3 = -27
Observação importante: -22 # (-2) 2 , pois -22 = -4 e (-2) 2 = 4. A diferença está que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado.
Parte 2 - Potência.
Para indicar que um número está elevado à uma potencia qualquer, colocamos esta potência como expoente. Veja o exemplo.
5 elevado à potência 4
54
Quando dizemos que um número qualquer está "elevado à potencia 4", por exemplo, estamos dizendo que este número será multiplicado por ele mesmo 4 vezes. Vamos desenvolver o exemplo acima:
5^4 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625
Veja mais exemplos:
2^9 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 512
3^3 = 3 • 3 • 3 = 27
8^2 = 8 • 8 = 64
Genericamente podemos representar uma potência:
Onde chamamos "X" de base e "n" de "expoente" ou "potência".
Com esta definição de potenciação, podemos efetuar algumas continhas utilizando estas potências. Por exemplo, podemos multiplicar 53 por 59. Veja na próxima página como fazer isso...
Quando estivermos operando uma equação, diversas vezes encontraremos potências envolvidas no meio do cálculo.
Existem algumas regras que nos ajudam a mexer com estas potências.
Irei mostrar as propriedades uma a uma. Sempre ilustrando com um exemplo para tentar "demonstrar" de onde veio a regra.
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MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
Esta é a primeira propriedade, pois é a mais utilizada de todas.
Por exemplo, se aparecer o número 54 multiplicado por 53,
Esta é a operação que queremos efetuar. Vamos abrir a potência
Agora veja que esta multiplicação é igual à 5 elevado à potência sete. Este 7 veio da soma dos 4 fatores de 54 com os 3 fatores de 53
Daqui nós tiramos a regra para qualquer multiplicação de potências com mesma base.
Conserva-se a base e soma-se o expoente. Genericamente temos:
Esta é a regra. "X" pode ser qualquer número (real, imaginário...), que a regra continuará valendo.
Conserva-se a base e soma-se os expoentes.
É muito importante entendê-la, pois é muito utilizada.
Note que a base deve ser a mesma nos fatores, e ela que aparecerá no produto.
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DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE
O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.
O exemplo será 12^6 divididos por 12^2:
Esta é a divisão que queremos efetuar. Vamos novamente abrir a potência.
Agora podemos cortar os termos semelhantes que estão acima e abaixo da fração.
Portanto podemos cortar dois fatores 12 de cima com dois fatores 12 de baixo.
12.12.12.12.12.12.12/12.12 Ao cortar, estaremos retirando 2 unidades da potência de cima. Estas duas unidades são referentes ao expoente 2 da potência de baixo.
Veja que esta multiplicação é igual à 12^4 , isto nos dá a regra para qualquer divisão de potências com mesma base.
Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.
Genericamente, temos:
Novamente, "X" pode ser qualquer número (real, imaginário...) que a regra ainda vale. Estas são as duas regras mais utilizadas.
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MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE
Até agora vimos multiplicação e divisão com termos de mesma base. E quando não tiver mesma base??? O que podemos fazer?
Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma base ou mesmo expoente. O que vamos ver agora é justamente o segundo caso: expoentes iguais.
O exemplo será 6^5multiplicados por 95:
Este é o exemplo. Agora vamos abrir as potências.
Qualquer multiplicação tem a propriedade de comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera. Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem.
Agora temos a multiplicação 6 • 9 aparecendo 5 vezes. Então
E esta propriedade podemos aplicar para qualquer número.
Conserva-se o expoente e multiplica-se a base.
Generalizando:
Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.
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DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE
O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.
O exemplo será 8^4 divididos por 5^4:
Este é o exemplo que iremos usar. Vamos abrir as potências.
Como temos multiplicação em cima e em baixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra.
E isto é a fração elevado na potência 4.
E esta propriedade pode se aplicar para quaisquer números do conjunto dos complexos. Generalizando,
Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos números complexos.
Conserva-se o expoente e divide-se as bases.
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POTÊNCIA DE POTÊNCIA
Já vimos as principais propriedades de operações.
Agora vamos ver quando tivermos uma potência de um número que já tem uma potência. Veja o exemplo:
(4^2)^3
O que devemos fazer?
Vamos desenvolver este exemplo:
Vamos abrir a potência de dentro do parêntesis
Agora a potência fora do parêntesis diz que devemos multiplicar o que tem dentro do parêntesis três vezes,
E isso nos dá a potência 4^6. E agora tiramos outra regra para potências.
Generalizando, ficamos com:
Onde "a" e "b" podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.
Potência de potência, multiplicam-se os expoentes.
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ATENÇÃO
Quando tivermos um número negativo elevado numa potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os exemplo:
(-5)^2 = (-5) • (-5) = +25
(-2)^4 = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = +16
Note, então, que quando temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como se fosse positivo, pois na multiplicação "menos com menos dá mais":
(-5)^2=52=25
(-2)^4=24=16
Se "k" for PAR (-X)k=Xk
E se tivermos um expoente ímpar?
(-5)^3=(-5)•(-5)•(-5) Se pegarmos os dois primeiro números multiplicados, temos (-5)^2=+25, substituindo ao lado:
(-5)^3=25•(-5)=-125 Sempre que tivermos um número negativo elevado em qualquer expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na resposta
PEGA-RATÃO
(-5)2 é totalmente diferente de -52 . No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao quadrado, então a resposta é +25. Já no segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, somente o 5, portanto a resposta é -25.
Para representar números muito grandes ou até mesmo efetuar cálculos com eles, é utilizado potências com algumas bases fixas. Uma das bases mais utilizadas é a base DEZ. No tópico após "Radiciação" iremos estudar esta base.
Agora iremos ver propriedades semelhante a esta, mas para radiciação. Clique na seta "avançar" abaixo e continue estudando.
Todas estas fórmulas você encontra, para referência rápida, no item resumo do menu lá em cima da página.
Com base nas operações com potências, existem algumas propriedades interessantes de serem vistas.
Qualquer número elevado à potência ZERO resulta 1.
Só não pode ser 00, pois este não existe!
Ex.:
A potência 1 indica que devemos multiplicar "a" por ele mesmo 1 única vez. Portanto, é o próprio "a".
Ex.:
A potência "n" indica quantas vezes o número 1 será multiplicado por ele mesmo, e não interessa quantas vezes seja, sempre será 1.
Ex.:
Idem ao de cima. Não interessa quantas vezes o zero seja multiplicado por ele mesmo, sempre será zero.
Lembre-se que não pode ser 00, pois não existe!
Ex.:
a-1 = 1/a Sempre que tivermos um expoente negativo, este troca de numerador para denominador, ou seja, vai de cima da fração para de baixo da fração.
Ex.:
Ex.:
A matéria de radiciação acaba ficando bem mais fácil se você já viu o capítulo de "Potenciação".
Radiciação é o inverso da potenciação. Ou seja, a radiciação está para a potenciação assim como a divisão está para a multiplicação. Resumindo a radiciação é uma potenciação em que o expoente é uma fração (própria ou imprpria).
Por exemplo, se elevarmos um número X à quinta potência e depois tirarmos a raiz quinta do resultado, voltaremos ao número X original.
Exemplos:
Para acharmos a raiz cúbica de oito , devemos nos perguntar qual o número que, multiplicado por ele mesmo três vezes, resulta 8.
Ou seja, qual o número que elevado na potência 3 resulta 8?.
A resposta é 2, pois 2^3=2•2•2=8
Nomenclatura:
Para facilitar as coisas, existe um meio de transformarmos uma raiz em uma potência. Assim fica muito mais fácil, pois podemos utilizar as mesmas propriedade de potenciação.
Vamos agora ver alguma propriedades fundamentais de radiciação:
Isto acontece pois ZERO vezes ZERO sempre será zero, não importa quantas "n" vezes ele aparecer.
Mesma coisa, um vezes um é sempre 1
Esta podemos provar pela definição de raiz. Qual o número que multiplicado uma vez por ele mesmo resula ele? Ele mesmo!
Se colocarmos esta raiz na forma de potência temos: e a fração vale 1, então:
Esta propriedade é idêntica à primeira desta matéria , a única diferença é que agora o "a" está elevado em uma potência diferente de 1.
Estas são as principais propriedades de Radiciação. Agora vamos ver as propriedades operatórias, ou seja, como fazer operações com raízes (multiplicação, divisão...).
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
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Agora vamos dar uma visão mais genérica, visto que as propriedades irão se repetir pois são idênticas às de potenciação:
Ao transformarmos as raízes da multiplicação em potenciação, utilizamos a propriedade de multiplicação de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes.
Se transformarmos a multiplicação de raízes em multiplicação de potências, podemos utilizar a propriedade de multiplicação de dois números na mesma potência.
Novamente se transformarmos a raiz em potência, teremos:
Agora o que devemos fazer é voltar de potência para raiz:
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ATENÇÃO
Existe uma propriedade matemática para representações de números, que impede a presença de raízes inexatas no denominador de uma fração.
Para mudarmos isso utilizamos uma técnica chamada de "Racionalização de Frações", que será vista daqui a três capítulos.
No próximo tópico iremos aprender como utilizar fatoração para nos auxiliar com potências e no tópico seguinte iremos aprender a racionalizar.
Como foi dito no início, podemos ter qualquer tipo de base para uma potência. Em certos casos é muito utilizado a escrita na forma de "BASE DEZ". Que é o que iremos estudar neste tópico.
Vamos começar mostrando uma propriedade SUPER básica de uma multiplicação de um número qualquer por 10.
5 x 10 = 50
52 x 10 = 520
458 x 10 = 4580
30 x 10 = 300
Note que sempre que multiplicamos qualquer número inteiro por 10, acrescentamos um zero à direita deste número e obtemos o resultado, não interessa por quais e por quantos algarismos é formado este número.
Vamos pegar o número 256 e multiplicá-lo por 10 três vezes:
256 x 10 = 2.560
2.560 x 10 = 25.600
25.600 x 10 = 256.000
Ao multiplicar por 10 três vezes, acrescentamos três zeros à direita do número.
Veja que o número 256000 pode ser escrito como 256 x 10 x 10 x 10. Ou seja:
256.000 = 256 x 10 x 10 x 10
Aplicando potenciação na multiplicação do 10, temos:
256.000 = 256 x 103
Bom, este exemplo não foi muito satisfatório, pois escrever 256000 ou 256 x 103 acaba dando o mesmo trabalho. Mas veja agora o número abaixo:
1.2450.000.000.000.000.000.000.000.000.000
Para representá-lo em uma forma mais compacta, utilizaremos a potência de base DEZ:
12.450.000.000.000.000.000.000.000.000.000 = 1245 x 1028
Note que para este tipo de número, o expoente da base 10 será igual ao número de zeros à direita que existem no número a ser representado.
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Potências de base DEZ também são utilizadas para "movimentar a vírgula" de um número decimal.
Vamos ver agora uma outra propriedade básica de DIVISÃO por 10.
5 ÷ 10 = 0,5
52 ÷ 10 = 5,2
458 ÷ 10 = 45,8
30 ÷ 10 = 3,0
Note que ao dividir por 10, o resultado será composto pelos algarismos do dividendo (número a ser dividido), sendo que este resultado terá um destes algarismos DEPOIS da vírgula.
254 ÷ 10 = 25,4
Número sem vírgula Resultado tem os mesmos algarismos, com UM algarismo APÓS a vírgula.
Agora, se pegarmos este resultado e dividirmos novamente por 10. O que irá acontecer? Veja o quadro abaixo:
25,4 ÷ 10 = 2,54
Número a ser dividido Resultado tem os mesmos algarismos, só que agora com DOIS algarismos APÓS a vírgula.
Note que cada vez que dividimos por 10, a vírgula "se movimenta" uma casa para esquerda. Vamos dividir novamente para confirmar.
2,54 ÷ 10 = 0,254
Número a ser dividido Resultado tem os mesmos algarismos, agora com TRÊS algarismos APÓS a vírgula. Como o número só tinha três algarismos, colocamos um zero à esquerda, para não ficar ,254
Portanto, podemos dizer que 0,254 é igual a 254 dividido por 10 três vezes, ou seja:
0,254 = 254 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
Aqui devemos ver que, dividir um número por 10 é a mesma coisa que multiplicar pela fração . Aplicando esta propriedade:
Agora, aplicando as propriedades de potenciação:
Esta notação (forma de apresentar o valor) é também chamada de notação científica. Para números extremamente pequenos ou absurdamente grandes é muito utilizada.
Continuando no exemplo acima. Se multiplicarmos por 10, iremos desfazer a "movimentação" para esquerda, ou seja, a vírgula irá "se movimentar" para direita.
0,254 x 10 = 2,54
Então, se multiplicarmos por 10 três vezes, voltaremos para 254:
0,254 x 10 x 10 x 10 = 254 0,254 x 103 = 254
RESUMÃO
Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 positiva, indica que iremos "aumentar" o número de zeros à direita ou "movimentar" para direita a vírgula tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:
54 x 105 = 5400000 Acrescentamos 5 zeros à direita do 54
2050 x 102 = 205000 Acrescentamos 2 zeros à direita do 2050
0,00021 x 104 = 2,1 "Movimentamos" a vírgula 4 casas para direita
0,000032 x 103 = 0,032 "Movimentamos" a vírgula 3 casas para direita
Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 negativa, indica que iremos "diminuir" o número de zeros à direita ou "movimentar" a vírgula para esquerda tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:
54 x 10-5 = 0,00054 "Movimentamos" a vírgula 5 casas para esquerda
2050 x 10-2 = 20,5 "Movimentamos" a vírgula 2 casas para esquerda. Lembrando que 20,5 = 20,50
0,00021 x 10-4 = 0,000000021 "Movimentamos" a vírgula 4 casas para esquerda
0,000032 x 10-3 = 0,000000032 "Movimentamos" a vírgula 3 casas para esquerda
32500000 x 10-4 = 3250 "Diminuimos" 4 zeros que estavam à direita
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Agora vamos mostrar um exemplo de uso desta matéria:
- Calcule o valor de :
- Primeiro de tudo vamos colocar todos números em notação científica (potências de base DEZ):
- Vamos organizar os termos, para facilitar o cálculo:
- Agora ficou fácil. É só calcular o lado direito da multiplicação e aplicar as propriedades de potenciação no lado esquerdo para calcular. Fazendo isso, temos:
1024 x 10-1 = 102,4
Como dito anteriormente (na lição retrasada), não se costuma deixar uma fração com raiz de qualquer ordem no denominador, ou seja, não pode ter raízes na parte de baixo de uma fração.
Para corrigirmos isso, usamos uma técnica chamada de "Racionalização de Frações".
Um tópico bem simples. Se você já tem conhecimento desta matéria pode passar adiante e fazer os exercícios de Potenciação de Radiciação.
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Racionalização de Frações (Introdução)
Esta técnica consiste em multiplicar a fração dada por um número que não altere o seu valor (apenas a sua apresentação).
Pense comigo, qual o número que pode ser multiplicado por qualquer outro e não altera o valor deste outro número?
- Isso mesmo, 1 (um) :)
Qualquer número multiplicado por 1 continua com o mesmo valor, veja os exemplos:
5 • 1 = 5
123 • 1 = 123
Também sabemos que qualquer fração que tenha o numerador (parte de cima da fração) igual ao denominador (parte de baixo da fração) vale 1:
Agora sim vamos ver Racionalização de Frações.
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Racionalização de Frações (1o caso)
O primeiro caso é quando temos apenas uma raiz sozinha no denominador.
Vamos ver como se racionaliza uma fração aplicando em um exemplo. Temos a fração e queremos saber uma representação para este mesmo valor, mas sem nenhuma raiz em baixo.
A técnica diz que devemos multiplicar esta fração por outra fração que tenha valor 1 para não alterar seu valor.
Esta fração deve ter seu denominador igual ao seu numerador e ambos igual ao denominador da fração a ser modificada, no caso .
32/
Agora, efetuando esta multiplicação de frações (numerador de uma multiplica o numerador de outra, denominador de uma multiplica o denominador de outra):
Pronto, achamos a fração procurada:
Mais exemplos:
Fração Racionalização
4.(12)1/2 /12
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Racionalização de Frações (2o caso)
O segundo acontece quando, além da raiz temos outro número somado à ela no denominador. Exemplo:
Para racionalizar este tipo de fração devemos, novamente, multiplicar por uma fração de valor 1. Formada pelo denominador da primeira apenas com o sinal do meio trocado.
Veja os exemplos:
Note que a fração grifada em azul nos cálculos acima que é a fração que você deve multiplicar.
Ela é igual à parte de baixo da fração que estamos racionalizando, mas com sinal do termo que tem raiz, trocado.
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Racionalização de Frações (3o caso)
O terceiro caso ocorre quando temos uma raiz dentro de outra raiz no denominador. Veja os exemplos:
Para resolver estes casos, vamos ter que calcular dois passos. Primeiro devemos multiplicar pela fração formada pela raiz do denominador com o sinal do meio trocado. Veja os exemplos abaixo:
Ué, mas ainda tem uma raiz no denominador.
- Isso mesmo, agora a gente aplica o 1° caso nesse resultado.
Note que até agora só trabalhamos com raízes quadradas.
Veja no próximo tópico como fazer se for uma raiz diferente de quadrada.
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Racionalização de Frações (4o caso)
Este último caso é o menos comum de todos, mas não quer dizer que não caia no vestibular também.
Ele ocorre quando temos uma raiz diferente de raiz quadrada no denominador. Veja uns exemplos:
Para resolver este tipo de questão, novamente devemos multiplicar esta fração por uma que valha 1 e nos seja conveniente (que retire a raiz do denominador).
Esta fração conveniente será achada através da seguinte propriedade:
Sendo que o expoente do resultado , deve ser 1.Vamos ver um exemplo:
Este será o exemplo que iremos desenvolver. Primeiro iremos transformar a raiz do denominador em potência
Pronto, agora em cima deste devemos achar um expoente que somado a ele resulte 1.
O expoente que procuramos é , agora vamos multiplicar.
Esta é a resposta final. Pois o 4225, ao ser fatorado, não ajuda em nada.
Agora faça os exercícios sobre potenciação e radiciação para testar se você obteve êxito neste estudo inicial.
Potenciação (Propriedades Gerais)
Potenciação (Propriedades operatórias)
Radiciação (Propriedades Gerais)
Radiciação (Propriedades Operatórias)
01) (UFRGS) O valor da expressão é:
(A) -4
(B) 1/9
(C) 1
(D) 5/4
(E) 9
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02) (UFRGS) A expressão é igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
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03) (UFRGS) O valor de para e
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
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04) (UFRGS) Sendo n > 1, a expresão é equivalente a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
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05) (PUC-RS) A expressão é igual a:
(A) 164
(B) 83
(C) 82
(D) 45
(E) 41
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06) (UFRGS) Simplificando encontramos:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
________________________________________
07) (UFSM) O valor da expressão é:
(A) 3.103
(B) 3
(C) 3.10
(D) 9.103
(E) 27.103
________________________________________
08) (UFSM) O valor da expressão é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
________________________________________
09) (UFRGS) Assinale a relação correta, das citadas abaixo.
(A) se a > 1
(B) se 0 < a < 1
(C) se 0 < a < 1
(D) se 0 < a < 1
(E) se a > 0
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10) O valor da expressão
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
________________________________________
11) Qual o valor da expressão:
para n pertencente aos naturais - {0, 1}
(A) 5
(B) 1/5
(C) 1/25
(D) 5²
(E) 5º
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12) (FUVEST) Dos números abaixo, o que está mais próximo de
(A) 0,625
(B) 6,25
(C) 62,5
(D) 625
(E) 6250
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GABARITO
01 - E 04 - A 07 - C 10 - A
02 - E 05 - E 08 - A 11 - C
03 - C 06 - B 09 - C 12 -
Parte 3 - Expressões algébricas e valor numérico.
Ensino Fundamental: Expressões algébricas
O uso das Expressões algébricas
Elementos históricos
Expressões Numéricas
Expressões algébricas
Prioridade das operações
Exercícios
Monômios e polinômios
Identificando express. algébricas
Valor numérico expressão algébrica
A regra dos sinais (X e ÷)
Regras de potenciação
Eliminação de parênteses
Operações com expr. algébricas
Alguns Produtos notáveis
O uso das expressões algébricas
No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressões do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.
Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expressão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.
As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.
Expressão algébrica Objeto matemático Figura
A = b x h Área do retângulo
A = b x h / 2 Área do triângulo
P = 4.a Perímetro do quadrado
Elementos históricos
Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.
O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.
Expressões Numéricas
São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Por exemplo:
a = 7+5+4; b = 5+20-87; c = (6+8)-10; d = (5×4)+15
Expressões algébricas
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Por exemplo:
A = 2a+7b; B = (3c+4)-5; C = 23c+4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituído por um valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
Potenciação ou Radiciação
Multiplicação ou Divisão
Adição ou Subtração
Observações quanto à prioridade:
Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto • ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
Exemplos:
Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
P = 2.5+10 = 10+10 = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28
Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:
X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22
Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.
Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=1. Então:
Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14
Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
Exemplos:
Um triângulo eqüilátero possui os três lados com mesma medida. Calcular o perímetro (medida do contorno) de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 5 cm, sabendo-se que o perímetro de um triangulo eqüilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a. Substituindo a=5cm nesta expressão, obtemos P=3×5cm=15cm.
Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a expressão algébrica para a área do quadrado de lado L que é A=L×L=L². Assim, se L=7cm, então A=7×7=49cm².
Observação: Mudando o valor do lado para L=8cm, o valor da área mudará para A=8×8=64cm².
Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo:
Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos:
O dobro desse número.
O sucessor desse número.
O antecessor desse número (se existir).
Um terço do número somado com seu sucessor.
Como caso particular do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor numérico:
do dobro de y
do sucessor de y
do antecessor de y
da terça parte de y somado com o sucessor de y
Calcular a área do trapézio ilustrado na figura, sabendo-se que esta área pode ser calculada pela expressão algébrica A=(B+b)×h/2, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é a medida da altura.
Monômios e polinômios
São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:
Nome Nº termos Exemplo
Monômio Um m(x,y) = 3 xy
Binômio Dois b(x,y) = 6 x²y - 7y
Trinômio Três f(x) = a x² + bx + c
Polinômio Vários p(x)=aoxn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an
Identificação das expressões algébricas
Com muita freqüência, as expressões algébricas aparecem na forma:
3x²y onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:
p(x,y) = 3x²y para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.
Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.
VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA IDENTIFICADA
É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.
Exemplo: Tomando p(x,y)=3x²y, então para x=7 e y=2 temos que:
p(7,2) = 3 × 7² × 2 = 294
Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:
p(-1,5) = 3 × (-1)² × 5 = 3 × 5 = 15
mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:
p(7,2) = 3 × (-7)² × 2 = 294
A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)
(+1) x (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1
(+1) x (-1) = -1 (+1) ÷ (-1) = -1
(-1) x (+1) = -1 (-1) ÷ (+1) = -1
(-1) x (-1) = +1 (-1) ÷ (-1) = +1
Regras de potenciação
Para todos os números reais x e y diferentes de zero, e, m e n números inteiros, tem-se que:
Propriedades Alguns exemplos
xº=1 (x não nulo) 5º = 1
xm xn = xm+n 5².54 = 56
xm ym = (xy)m 5² 3² = 15²
xm ÷ xn = xm-n 520 ÷ 54 = 516
xm ÷ ym = (x/y)m 5² ÷ 3² = (5/3)² = 25/9
(xm)n = xmn (53)² = 125² = 15625 = 56
xm÷n = (xm)1/n 53÷2 = (53)1/2 = 1251/2 = 5.51/2
x-m = 1 ÷ xm 5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125
x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n 5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2= 1 ÷ (125)1/2
Eliminação de parênteses em Monômios
Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.
Exemplos:
A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = - 3x
D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x
Operações com expressões algébricas de Monômios
Adição ou Subtração de Monômios
Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.
Exemplos:
A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = -3x
D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x
Multiplicação de Monômios
Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A = -(4x²y).(-2xy) = +8x³y²
B = -(4x²y).(+2xy) = -8x³y²
C = +(4x²y).(-2xy) = -8x³y²
D = +(4x²y).(+2xy) = +8x³y²
Divisão de Monômios
Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A = -(4x²y)÷(-2xy) = 2x
B = -(4x²y)÷(+2xy) = -2x
C = +(4x²y)÷(-2xy) = -2x
D = +(4x²y)÷(+2xy) = 2x
Potenciação de Monômios
Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A =(+4x²y)³= 4³ x²y x²y ²y = 256 x6 y³
B =(-4x²y)³ = -4³x²y x²y x²y = -256x6 y³
Alguns Produtos notáveis
No link Produtos Notáveis, existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes.
Quadrado da soma de dois termos
Sabemos que x² = x.x; y²=y.y, mas não é verdade que
x² + y² = (x+y)² a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:
(x+y)² = x² + 2xy + y² Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.
Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:
x+y
x+y
+xy+y²
x²+xy
x²+2xy+y²
Compare
as
duas operações 10+3
10-3
+10.3+3²
10²+10.3
10²+2.10.3+3²
Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:
(x+y)² = x² + 2xy + y²
Exemplos:
(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64
(3k+y)² = (3k)²+2.3k.y+y² = 9k²+6ky+y²
(1+x/5)² = 1+ 2x/5 +x²/25
Exercícios: Desenvolver as expressões:
(a+8)² =
(4y+2)² =
(9k/8 +3)² =
Pensando um pouco:
Se (x+7)²=x²+[ ]+49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]?
Se (5a+[ ])² = 25a²+30a+[ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
Se ([ ]+9)² = x²+[ ]+81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
Se (4b+[ ])² = l6b²+36b+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.
Se (c+8)²=c²+[ ]+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.
Quadrado da diferença de dois termos
Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:
(x-y)² = x² - 2xy + y²
Exemplos:
(x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16
(9-k)² = 9²-2.9.k+k² = 81-18k+k²
(2/y -x)² = (2/y)²-2.(2/y).x+x²
Exercícios: Complete o que falta.
(5x-9)² =[ ]
(k-6s)² =[ ]
(p-[ ])² = p²-10p+[ ]
Produto da soma pela diferença de dois termos
Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.
x+y
x-y
-xy-y²
x²+xy
x² -y²
Compare
as duas
operações 10+3
10-3
-10.3-3²
10²+10.3
10² - 3²
Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y. (x+y)(x-y) = x² - y²
Exemplos:
(x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4; (g-8)(g+8) = g²-8g+8g-64 = g²-64; (k-20)(k+20) = k²-400
PARTE 4 - FUNÇÕES DO 1º E 2º GRAU.
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
* Definição
É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita para alguns valores que estejam agregados em seus domínios.
Exemplos:
3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido recebe o termo de incógnita.
3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe o termo de incógnita.
Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema é verdadeira ou falsa, pois os valores das incógnitas são desconhecidos.
É possível verificar que as equações acima se tornam verdadeiras quando:
x = 2, veja:
3x – 4 = 2
3x = 2 + 4 à 3x = 6. Assim: x = 2
y = 1, veja:
3y = 7 – 4 à 3y = 3 à y = 1
Assim os conjuntos são verdadeiros (V) e com soluções (S) = 2 e 1 respectivamente
- EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é equação do primeiro grau, como toda equação que satisfaça a forma:
ax + b = 0
Onde, tem-se:
a e b , são as constantes da equação, com a ≠ 0 (diferente de zero)
Observe:
4x + 10 = 1
a = 4
b = 10 >> constantes (4,10)
3x – 6 = 0
a = 3
b = 6 >> constantes (3,6)
Exemplo de fixação:
x + 2 = 6 »
Assim, o número que substitui o “x” na equação acima, tornando a sentença “verdadeira”, é o número 4, pois, 4 + 2 = 6.
Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando uma propriedade já informada em tutoriais anteriores:
ax + b = 0 » ax = - b
x = -b/a
Obs.: É possível transformar uma equação em outra que seja equivalente à primeira, porém esta segunda na forma mais simples de se efetuar cálculos. É possível somar ou subtrair, multiplicar ou dividir um mesmo número, que seja diferente de zero (≠0), aos membros da equação dada no problema.
Exemplo:
x – 4 = 0 » x –4 + 2 = 0 + 2 » x = 4
2x = 4 » 3.2x = 3.4 » x = 2
* RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Resolver uma equação do primeiro grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de forma correta a raiz da equação.
Na forma simples de entender a solução de equação do primeiro grau, basta separar as incógnitas dos números, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Desta forma, os números ficam de um lado da igualdade e do outro lado as constantes.
Para assimilar, veja alguns exemplos de fixação resolvidos:
a) Determine o valor do X:
4x – 12 = 8
4x = 8 + 12
4x = 20
x= 20/4 » x = 5 >> V = {5}
b) Qual o valor da incógnita x:
2 – 3.(2-4x) = 8
2 – 6 + 12x = 8
12x = 8 - 2 + 6
12x = 6 + 6
x = 12/12 » x = 1 >> V = {1}
Mais alguns exemplos de equações de primeiro grau:
x + 5 = 10 5x – 3 = 28 3x + 12 = 4
2x – 4 = 0 10 + 4.(5.4x) = 5 – (x+8)
Observe que, como informado no método de resolução dos problemas que envolvem equações do primeiro grau, sempre é colocado de um lado às incógnitas e de outros os números, para que se tenha assim a solução verdadeira da questão.
Por tanto ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto “V” ou conjunto de solução “S”.
Lembre-se: Os valores do conjunto soluções têm que ser satisfeitos pelos valores que estejam agregados na sentença.
* POR QUE A CONSTANTE “A” TEM QUE SER DIFERENTE DE ZERO (A ≠ 0)
Observe:
a ≠ 0 >> b ≠ 0, temos:
x = -b/a
S = {-b/a}
a ≠ 0 >> b = 0, temos:
x = 0/a
S = {0}
Agora se a constante “a” for igual = 0 (a = 0)
b ≠ 0 >> x = -b/0
V = {0}
Desta forma, é possível notar que quando a constante “a” for igual à zero ( a = 0), temos a conjunto “V”, chamado de conjunto Verdade, igual a zero V = {0}, não existindo, neste caso, raiz ou solução que satisfaça a equação, e a equação então é denominada de “impossível” ou “sem solução”.
Ainda, se tratando da forma (a ≠ 0), observe a seguinte suposição de equação:
b = 0 >> 0x = 0 >> V = R
Assim, é possível dizer que a equação é indeterminada, pois qualquer valor para a incógnita x, se torna raiz ou solução da equação ou do problema dado.
* INCÓGNITA COM VALOR NEGATIVO
Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer que o coeficiente que estiver acompanhando a variável seja um número negativo (-).
Caso isto ocorra, o correto a fazer é multiplicar ambos os membros da equação por (-1), que é um dos princípios da multiplicação, já estudados em tutoriais anteriores.
Veja alguns exemplos:
a) 4x – 2 = 6x + 8
Reduzindo os termos:
4x – 6x = 8 + 2 -2x = 10
Verifique que o número que acompanha o “x”, ou seja, o coeficiente, tem o valor negativo (-), então multiplica-se os termos da equação por (-1).
Assim, temos aos valores:
-2x = 10 .(-1)
2x = - 10
Verifique então, que após multiplicar os termos por (-1), temos o coeficiente da incógnita “x” na forma positiva, agora sim podendo prosseguir com a operação.
x = -10/2 x = -5
Como o valor de x = -5, então V = {-5}
Observação:
O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Veja o que realmente ocorre:
Observe:
2x + 4 = 8
Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o valor de 2x "separado".
Veja o que acontece:
2x + 4 - 4 = 8 - 4
2x = 4
x = 2
V={2}
A forma de cálculo acima é a exposição do que ocorre na solução de equações do 1º grau. A "grande dica" de "separar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizar nos cálculos dos problemas e sentenças.
Equações do 2º grau
* Definição
Denomina-se equação do 2º grau com uma variável toda e qualquer equação que esteja na forma:
Onde : a, b, c pertence a R, com a ≠ 0
Desta forma, são equações do segundo grau com uma variável:
a) 3x2 – 4x + 2 = 0
Onde:
a = 3
b = -4
c = 2
b) y2 + 10y – 15 = 0
Onde:
a = 1
b = 10
c = -15
* COEFICIENTES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Os números reais a, b e c são chamados de coeficientes da equação do 2º grau, e seguem da seguinte forma:
» a é sempre o coeficiente do termo x2
» b é sempre o coeficiente do termo x
» c é chamado de termo independente ou mesmo de termo constante
* O QUE SÃO EQUAÇÕES COMPLETAS E EQUAÇÕES INCOMPLETAS
Como já definimos, o coeficiente “a” é sempre diferente de zero (a ≠ 0). Mas os coeficientes “b” e “c” podem ser nulos.
Desta forma:
» quando “b” e “c” são diferentes de zero, a equação se diz completa.
Ex.:
2x2 – 4x + 2 = 0; Y2 – 3y + 4 = 0; -3t2 + 4t + 3 = 0
Todas as equações acima são chamadas de “equações completas”.
» quando (b = 0), ou (c = 0) ou (b = c = 0), a equação se diz incompleta.
x2 – 5 = 0; t2 + 2t = 0; 10x2 = 0
Todas as equações acima são chamadas de “equações incompletas”.
(Quando b ou c são iguais a zero)
* COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS
Para resolver uma equação, que significa determinar o conjunto de soluções dessa equação.
Inicialmente observamos o seguinte:
» Se x2 = a, então x = raiz quadrada positiva e negativa (relação fundamental)
» Se a.b = 0, então a = 0 ou b = 0
Baseado nas condições acima, verificaremos como resolver as equações incompletas do 2º grau.
1º caso:
A equação é da forma ax2 + bx = 0, onde c = 0.
Resolva as seguintes equações incompletas do 2º grau, sendo U = R
Exemplos:
a) x2 – 4x = 0
Colocando o fator x em evidência, temos:
x. (x – 4) = 0
As raízes das equações são:
x = 0
x – 4 = 0
x = 4
Logo S = {0,4}
b) y2 + 10y = 0
Colocando o fator y em evidência, temos:
y.(y + 10) = 0
As raízes das equações são:
y = 0
y + 10 = 0 y = -10
Logo S = {0, -10}
Observe que nos exemplos acima, sempre procuramos colocar a variável em evidência para a equação seja solucionada mais rapidamente.
2º caso
A equação é da forma ax2 + c = 0, onde b = 0.
Resolva as seguintes equações incompletas do 2º grau, sendo U = R
a) x2 – 49 = 0
Calculando o termo independente e transpondo e termo, temos o seguinte:
x2 – 49 = 0
x2 = 49
x = +/- raiz quadrada de 49 (√49) – relação fundamental
x = +/- 7 ---à Raiz quadrada de 49 pertence R e é exata : 7
x = + 7 ou x = -7
S = {-7, 7}
b) 4x2 – 36 = 0
Calculando o termo independente e transpondo e termo, temos o seguinte:
4x2 = 36
x2 = 36/4
x2 = 9
x = +/- raiz quadrada de 9 (√9) – relação fundamental
x = + 3 ou x = -3
S = {-3, 3}
* Exercícios para fixação de conteúdo (Lembrete; Uma equação do segundo grau é completa quando a, b e c são, respectivamente, diferentes de zero e a tem de ser, obrigatoriamente diferente de zero)
1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:
a) 4x2 - 2x - 2 = 0
a = 4; b = -2; c = -2
A equação é denominada completa.
b) 4x2 + 60 = 0
a = 4; b = 0; c = 60
A equação é denominada incompleta, pois b = 0.
c) x2 - 6x = 0
a = 1; b = -6; c = 0
A equação é denominada incompleta, pois c = 0.
2) Calcule
a) y2 + 15y = 0 y. (y + 15) = 0 y = 0, assim, y + 15 = 0 y = -15 S = {0,-15)
EQUAÇÕES DO 2º GRAU – PARTE II
* Definição
Como informado em tutoriais anteriores, denomina-se equação do 2º grau com uma variável toda e qualquer equação que esteja na forma:
Onde : a, b, c pertence a R, com a ≠ 0
Desta forma, são equações do segundo grau com uma variável:
a) 2x2 – 3x + 4 = 0
Onde:
a = 2
b = -3
c = 4
b) 2y2 + 8y – 14 = 0
Onde:
a = 2
b = 8
c = -14
* Como resolver equações completas do 2º grau
Já foi demonstrado em tutoriais anteriores, como resolver equações do segundo incompletas.
Buscaremos agora resolver uma equação completa, que significa determinar o conjunto de soluções dessa equação.
Inicialmente observamos a fórmula resolutiva e discriminante. Considerando a equação:
ax2 – bx + c = 0
Em que a,b,c pertence a R e a é diferente de zero
Será usada a fórmula resolutiva ou fórmula de Báscara para a resolução de equações completas.
A expressão:
Onde símbolo apontado acima chama-se DELTA.
A Fórmula de Báscara:
DELTA
O polinômio indicado e que se encontra dentro da raiz da fórmula é chamado de delta ou discriminante.
Dessa forma, a fórmula resolutiva pode ser escrita na forma:
Conforme o DELTA seja positivo, negativo ou nulo, existem três caso para se estudar e resolver:
1º caso: O discriminante é positivo .
A equação terá dua raízes reais diferentes e distintas, sendo costume fazer esta representação por X’ e X’’.
A fórmula resolutiva deste caso é :
2º caso: O discriminante é nulo
A equação terá duas raízes reais e iguais.
Neste caso existe um caso particular para fórmula resolutiva : x = -b_
2a
Assim: x = x’ = x’’ = -b
2a
3º caso: O discriminante é negativo
Este caso o valor da raiz quadrada de delta não existe em R, pois não existe no conjunto dos números reais a raiz quadrada de um número negativo.
Baseado nas condições acima, verificará como resolver as equações completas do 2º grau por meio da fórmula resolutiva.
* RESOLVA AS SEGUINTES EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU
a) x2 – 6x + 5 = 0
Onde:
a = 1; b = -6; c = 5.
Discriminante:
= (-6)2 – 4.(1).(5)
= 36 – 20 = = 16 16 > 0
Logo existem duas raízes reais e diferentes.
Substituindo:
X = -(-6) +- √16 = 6 +-4
2.(1) 2
X’ = 6 + 4 = 5
2
X’’ = 6 – 4 = 1
2
S = {1,5}
b) x2 = 5(2x – 5)
Onde:
x2 = 5(2x – 5)
x2 = 10x – 25
x2 - 10x + 25 = 0
a = 1
b = -10
c = 25
Discriminante:
= (-10)2 – 4.(1).(25)
= 100 – 100
= 0 ---> 0 = 0 (duas raízes)
Fórmula resolutiva:
x = x’ = x’’ = -b
2a
x = -(-10) ---> x = 10/2
2.(1)
x = 5
S = {5}
PARTE 5 - FUNÇÃO MODULAR E EXPONENCIAL.
FUNÇÃO MODULAR
A função modular f : R -> R é definida por
f (x) = |x|, se:
|x| = x , se x > 0
-x , se x < 0 , portanto temos que a função modular é definida por duas sentenças: f (x) = x, se x>0 e f (x) = -x, se x<0 .="" br=""> Equação modular
A equação modular está baseada nas seguintes propriedades: Se a > 0 e |x| = a, então x = a ou x = -a; Se a=0 e |x| = 0, então x = 0.
Inequação modular
|x| > a , logo x < -a ou x > a
|x| < a , logo -a < x < a
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Potenciação
Termos da potenciação: an = b, onde a é a base, n o expoente e an ou b a potência.
Potência com expoente natural: an = a.a.a. ... .a ( n fatores )
Propriedades:
o a0 = 1 e a1 = a
o (am)p = amp
o a-n = 1 / an
o am : an = am-n
o am . an = am+n
o a1/ n =
o (a .b) n = an . bn
o (a : b) n = a n / b n
Função Exponencial
A função f : R -> R*+ , definida por f (x) = a x, com a E R*+ e a 1 e x E R, é denominada função exponencial de base a. Exemplo: f (x) = 3x ( a base é 3).
Gráficos
o Quando a > 1 -> função crescente; D = R; Im = R*+.
Quando 0 < a < 1 -> função decrescente; D = R; Im = R*+.
Equação exponencial
Uma equação é denominada equação exponencial quando a incógnita aparecer no expoente, como por exemplo: 5x – 125 = 0. Resolução: 5x = 125 -> 5x = 53 -> x = 3.
Inequação exponencial
Denominamos inequação exponencial toda desigualdade que possui variável no expoente. Como por exemplo 2x-1 > 128.
o Para resolvermos uma inequação devemos nos preocupar com as seguintes propriedades:
Quando a >1 ...... ax2 > ax1 <-> x2 > x1 (conserva o sentido da desigualdade).
Quando 0 < a < 1 ...... ax2 > ax1 <-> x2 < x1 (inverte o sinal da desigualdade).
PARTE 6 - EQUAÇÃO DE 1º E 2º GRAUS: RESOLUÇÃO E APLICAÇÕES EM PROBLEMAS.
Raízes de uma equação do 2º grau
Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.
O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos:
Dentre os elementos do conjunto A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação
x² - x - 2 = 0 ?
Solução
Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.
Para x = -1 (-1)² - (-1) - 2 = 0
1 + 1 - 2 = 0
0 = 0 (V)
Para x = 0 0² - 0 - 2 = 0
0 - 0 -2 = 0
-2 = 0 (F)
Para x = 1 1² - 1 - 2 = 0
1 - 1 - 2 = 0
-2 = 0 (F)
Para x = 2 2² - 2 - 2 = 0
4 - 2 - 2 = 0
0 = 0 (V)
Logo, -1 e 2 são raízes da equação.
Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0.
Solução
Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.
Logo, o valor de p é .
Resolução de equações incompletas
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.
Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:
1ª Propriedade:
2ª Propriedade:
1º Caso: Equação do tipo .
Exemplo:
Determine as raízes da equação , sendo .
Solução
Inicialmente, colocamos x em evidência:
Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:
Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:
De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e .
2º Caso: Equação do tipo
Exemplos:
Determine as raízes da equação , sendo U = IR.
Solução
De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.
Resolução de equações completas
Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
A partir da equação , em que a, b, c IR e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).
1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.
2º passo: passar 4ac par o 2º membro.
3º passo: adicionar aos dois membros.
4º passo: fatorar o 1º elemento.
5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.
6º passo: passar b para o 2º membro.
7º passo: dividir os dois membros por .
Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:
Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:
Exemplos:
resolução a equação:
Temos
Discriminante
Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega (delta).
Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:
De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:
1º Caso: O discriminante é positivo .
O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:
Exemplo:
Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?
Solução
Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter
Logo, os valores de k devem ser menores que 3.
2º Caso: O discriminante é nulo
O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:
Exemplo:
Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais.
Solução
Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .
Logo, o valor de p é 3.
3º Caso: O discriminante é negativo .
O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos.
Exemplo:
Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?
Solução
Para que a equação não tenha raiz real devemos ter
Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.
Resumindo
Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:
Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.
Para , a equação tem duas raízes reais iguais.
Para , a equação não tem raízes reais.
PARTE 7 - PRODUTOS NOTÁVEIS – FATORAÇÃO.
OS PRODUTOS NOTÁVEIS
O que é preciso saber:
Os produtos notáveis que mais se destacam na álgebra são:
Quadrado da soma entre dois termos (a + b)² ;
Quadrado da diferença entre dois termos (a – b)² ;
Produto da soma pela diferença entre dois termos (a + b) (a – b);
Cubo da soma entre dois termos (a + b )³;
Cubo da diferença entre dois termos (a – b )³.
Vamos desenvolver propriedade distributiva
1) ( a + b )² = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b )² = a² + ab + ab + b² ( a + b )² = a² + 2ab + b²
2) ( a – b )² = ( a – b ) ( a – b ) ( a – b )² = a² - ab – ab + b² ( a – b )² = a² -2 ab + b²
3) ( a + b ) ( a – b ) = a² - ab + ab – b² ( a + b ) ( a – b ) = a² - b²
Obs.: O conjugado de (a + b ) é ( a – b ) e sempre quando os multiplicamos obtemos como resultado a diferença entre dois quadrados ( a + b ) ( a – b ) = a² - b²
4) ( a + b )³ = ( a + b )² ( a + b ) (a + b)³ = (a² + 2ab + b²) (a +b) (a + b )³ = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
MACETE (REGRA)
Para desenvolver (a + b)n passo a passo:
1º passo: coloque a e b elevados ao expoente do binômio, no caso n, nas extremidades assim:
an .....................................................................bn
2 º passo: entre an e bn coloque os produto ab (do 1º pelo 2ºtermos do binômio) ( n-1) vezes obtemos :
an+ ab + ab + ab +. . . + bn
3º passo: decrescer os expoentes do 1º termo de an até a1 e crescer os expoentes do 2º termo de b1 até bn veja: Em geral não usamos a° = b°, pois são iguais a 1 (um).
an b0+ an - 1b1 + an-² b² + ... + a1 b n-1+ a0bn
4º passo: Para determinar os coeficientes a partir do 2º termo no desenvolvimento do binômio, use o expoente de a (1º termo do binômio) multiplicado pelo coeficiente do 1º termo (ou termo anterior) e em seguida divida pelo expoente de b (2º termo do binômio) adicionado de 1(um)
an b0+ an - 1b1 + an-² b² + ... + a1 b n-1+ a0 bn
Nota: Lembrar que a0 = b0 =1.
Vamos desenvolver (a + b)4 passo a passo:
1º passo: coloque a e b elevado ao expoente nas extremidades assim :
a4 .....................................................................b4
2 º passo: entre a4 e b4 coloque os produto ab ( n-1) vezes (4 – 1 = 3 vezes) obtemos :
a4 + ab + ab + ab + b4
3º passo: decrescer os expoentes a4 até a1 e crescer os expoentes b1 até b4 veja:
a4 + a³b1 + a²b² + a b + b4
4º passo: coloque o expoente ( 4 ) no coeficiente do termo seguinte (2ºtermo) e multiplique pelo valor do expoente de b° adicionado de 1 ( 0 + 1)e em seguida dividir por 2 (2º termo do desenvolvimento)
a4 b°+ 4a³ b1 + 6a²b² + 4 a1 b³ + 1 a0b4
então : ( a + b )4 = a4 + 4 a³b1 + 6a²b² + 4 a1b³ + 1b4
desenvolvendo agora ( a + b )5
(a + b )5 = a5 .........................................b5
(a + b ) 5 = a5 + ab + ab + ab + ab + b5
( a + b ) 5 = a5 + a4b1 + a3b² + a²b³ + a1b4 + b5
( a + b ) 5 = a5 + 5 a4b1 + 10a³b² + 10 a²b³ + 5 a1b4 + 1b5
Obs.: mesmo que entre os termos tenha sinal negativo, no desenvolvimento do binômio coloque sempre o sinal de mais entre eles veja: (Calcule os coeficientes como exercício)
( a – b )³ = a³ +3 a² (-b )1 + 3 a1 (- b )² + (-b )³ (a – b) ³ = a³ - 3 a²b + 3 ab² - b³
Obs: eleve mentalmente o termo negativo ao respectivo expoente e faça o produto dos
sinais no exercício a seguir:
(a – b )² = a²..............................(- b² )
(a – b )² = a² - 2ab + b²
Vamos calcular (3x² + 2y)³ passo a passo, usando (a + b )³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³.
SUBTITUINDO: a = (3x²) e b = ( 2y ) (3x² + 2y)³ = ( 3x² )³ + 3( 3x² )² (2y) + 3( 3x² )(2y )² + (2y)³
( 3x² + 2y) = 27x6 + 3 (9x4 ) (2y) + 3 ( 3x²) (4y²) + 8y³ (3x² + 2y) ³ = 27x6 + 54x4 y + 36x²y² + 8y³
IMPORTAMTÍSSIMO: SABER DESENVOLVER PRODUTOS NOTÁVEIS É ASSUNTO BÁSICO DE MATEMÁTICA; POR ISSO aprenda DESENVOLVÊ-LAS COM RAPIDEZ.
Vamos desenvolver ( x + a )³ e por outro método :
01- (x + a)³ = (x + a)² (x + a) (x + a)³ = (x² + 2ax + a²).(x + a) ( x + a )³ = x³ + ax³ + 2ax² + 2a²x + a²x + a³
( x + a )³ = x³ + 3ax² + 3a²x + a³
Obs.: ESTE MÉTODO É TRABALHOSO E LENTO, LOGO FAÇA ASSIM:
( x + a )³ = x ³ + 3 a²x + 3ax² + 1 a³ (Faça o cálculo dos coeficientes). Então temos:
( x + a )³ = x³ + 3a²x + 3ax² +a³
02- Vamos desenvolver ( x + a ) (x + b ) = x² + ax + bx +ab. Logo: (x + a) (x + b) = x² + x. ( a + b ) + a..b
x2 + Sx + P
Então desenvolver: ( x + 2) ( x + 3) = x² + 5x + 6, basta:
i) multiplicar os x; ii) em seguida somar os termos independentes e multiplicar por “x”;
iii) em seguida multiplicar os termos independentes
Vamos praticar:
Ex.01- ( x – 5 ) (x + 2 ) = x² -3x –10
i) faça isso: -5 + 2 = - 3; mentalmente ( -5 ) ( 2 ) = -10;
Ex.02- ( x – 2 ) ( x + 2 ) = x² - 4
i) -2 +2 = 0; ii) (-2 ) (+2) = -4
NEM TUDO SÃO FLORES
VEJA Ex. 01- Calcular (2x + 3) ( x + 4).
Sol: NESTE CASO É PREFERÍVEL APLICAR A PROPIEDADE DISTRIBUTIVA
(2x + 3).( x + 4 ) = 2x² + 8x + 3x +12 = 2x² + 11x + 12
Ex.02-
MMC: 6 , 12 , 14 , 28 2
3 , 6 , 7 , 14 2
3 , 3 , 7 , 7 3
1 , 1 , 7 , 7 7 /
1 , 1 , 1 , 1 mmc (6, 12,14,28) = 84
Operando as frações acima temos: = =
Como saber se o produto está correto?
Basta atribuir valores numéricos a variável.vejamos,
EX.01: Temos que: ( x + 2 ) ( x + 3 ) = x² + 5x +6
Atribuindo um valor qualquer a “x” ,por exemplo, x = 1 obtemos:
( 1 + 2 ) ( 1 + 3 ) = ( 1)² + 5 ( 1 ) + 6
3. 4 = 1 + 5 +6
12 = 12, Está correta a Identidade
Ao substituir o valor numérico e não ocorrer a identidade existe algum erro na operação.
EX. 02 - Calcular ( x² + y )³
Sol: Como: ( a + b ) ³ = a³ + 3a²b + 3 ab² + b²
Substituindo: a = ( x² ) e b = ( y )
( x² + y )³ = ( x²)³ + 3 ( x²)² (y) + 3 (x² ) ( y )² + ( y )³
( x² + y)³ = x 6 + 3 x4y + 3 x²y² +y³
Verificando faça x = 2 e y = 2
(2² + 2 )³ = ( 2 )6 + 3.( 2 )4.( 2 ) + 3. 2² .2² +2³
6³ = 64 + 96 +48 +8
216 = 216 (CORRETO)
COMO ELEVAR UM TRINÔMIO DO QUADRADO
Ex. ( a + b + c )² = [(a + b) + c]² = (a +b )² + 2 ( a + b ) + c²
( a + b + c )² = a² + 2ab + b² + 2 ac + 2bc + c²
( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2 ac + 2bc
ou [ a + (b + c )]² = desenvolva você
COMO DESENVOLVER UM BINÔMIO COM EXPOENTES CONTENDO VARIÁVEL
Ex. ( 2p + 3 )² = ( 2p )² + 2.(2p . 3 ) + (3 )²
( 2p + 3 )² = 2²p + 2 p+1. 3 + 32
Ex. ( x m-1 + x 1-m )² = ( x m-1)² + 2.x m-1. x 1-m + ( x1-m)²
( x m-1 + x 1-m )² = x 2m-2 + 2 x + x-2-2m
( x m-1 + x 1-m )² = x 2m-2 + 2 + x-2-2m
Ex.
FATORAÇÃO
O que é preciso saber:
Definição: Fatorar é transformar uma soma ou diferença em produto
1º CASO: EVIDENCIAÇÃO
É o processo de separar os termos (fatores) comuns e de menor expoente.
Ex.01: Vamos fatorar a² x³ + a4 x5 + a6x 4
Solução: O “a” e “x” são comuns em todos os termos, então coloque o “ a² ” e “ x³ ” em evidência (pois são comuns e de menores expoentes) em seguida dividir cada termo por a²x³.
então : a² x³ + a4 x5 + a6x 4 = a².x³ . (1 + a² x² + a4x)
Obs.:Pela definição fatorar é transformar uma soma ou diferença em produto.
Ex.02: Fatorar 4 a³x – 12 a² x² +16a
Sol: Fatorando 4, 12 e 16 temos: 2² a³ x – 2².3 a².x² + 24a
Termos comuns de menor expoente em evidência que são 2².a, então:
2² a³ x = a² x ; 2².3 a³ x² = 3ax² ; 24 a = 2²
2².a 2².a 2².a
Temos então que: 4 a³x – 12 a² x² +16a = 2².a (a²x – 3ax² + 2² ) = 4a ( a²x – 3ax² + 4).
Ex.03: 15a4x²y – 20 a³xy² + 30 a²x³
Sol: Fatorando os coeficientes, temos: 3.5 a4x²y – 2² .5 a³xy² + 2.3.5 a²x³b
Então: 15a4x²y – 20 a³xy² + 30 a²x³ = 5 a²x. (3 a²xy – 4ay² +6x²).
Ex.04: 3 x² y³ - 9 xy4 - 15 x³y5
8 4 16
Solução: : Fatorando os coeficientes, temos: 3x²y³ - 3² xy4 - 3.5 x³y5
2³ 2² 24
Então: 3 x² y³ - 9 xy4 - 15 x³y5 = 3xy³ ( x¹ - 3¹y – 5x²y² )
8 4 16 2² 2¹ 1 2²
2º CASO: AGRUPAMENTO
Quando a quantidade de termos são em 4 ou 6 termos e existindo termos comuns então coloque em evidência parcialmente.
(1º termo e 2ºtermo); ( 3ºtermo e 4ºtermo)
Ex.1: Fatorar: ax + bx + ay + by
Solução:
ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)
Agora o termo (a+b) é comum aos dois termos então coloque (a+b) em evidência, então:
ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = ( a + b ) ( x + y )
Ex.2: Fatorar: 15 a²b + 3 ac – 20abm – 4 mc
Solução:
15 a²b + 3 ac – 20abm – 4 mc =3.5 a²b + 3 ac – 20abm – 2².5 mc =
= 3a ( 5ab +c) – 4m (5ab +c ) = (5ab + c)( 3a – 4m)
Ex.3: Fatorar: ax – bx –ay + by
Solução:
ax – bx –ay + by = x.( a –b) –y.( a - b ) =( a - b ) ( x – y )
Obs: se os sinais dos termos são diferente coloque o sinal menos em evidência.
* Os sinais sendo comuns eles também são colocados em evidência
IMPORTANTÍSSIMO: EXETO OS CASOS DE EVIDÊNCIAÇÃO, TODOS OS DEMAIS CASOS SAEM POR AGRUPAMENTO.
Ex.4: Fatorar: x² + 6x + 9
Sol:
Para aplicar o caso de agrupamento a quantidade de termos deverá ser sempre par. Basta decompor o termo central 6x = 3x + 3x e que 3.3 = 9.
x² + 6x + 9 = x² + 3x + 3x + 9 = x ( x + 3 ) +3( x + 3) = (x + 3)(x + 3)
Ex.5: Fatorar x² - 5x + 6.
Sol:
Como: (-2). (-3) = +6 e - 5x = -2x –3x temos então:
x² - 5x + 6 = x² - 2x – 3x +6 = x (x – 2 ) –3 ( x – 2) = (x – 2 ) ( x – 3 ).
Ex.6: Fatorar x² -16
Sol:
Completando: x² -16 = x² + 0x –16
Como: 0x = 4x –4x e (4).(-4) = 16 temos então:
x² -16 = x² + 0x –16 = x² + 4x –4x –16 = x (x +4) –4 (x + 4) = (x +4) ( x – 4).
Ex.7: Fatorar 5x² - 20.
Sol:
Quando o coeficiente de “x” é diferente de um basta multiplicar o coeficiente de “x²” que é 5 pelo termo independente que é -20; ou seja: 5 . (- 20) = -100= 10. (-10). Daí então:
5x² - 20 = 5x² + 0x – 20 = 5x² + 10x –10x – 20 = 5x. (x + 2 ) – 10 (x + 2) =
= (x + 2) (5x –10) = (x + 2). 5. (x –2).
Ex.8: Fatorar 6x² - 5x + 1.
Sol:
Como: -5x = -3x –2x e (-3).(-2) = 6 , temos que:
6x² - 5x + 1 = 6x² -3x –2x + 1 = 3x.(2x –1) – (2x –1) = (2x –1) (3x –1).
Ex.9: Fatorar x³ + a³.
Sol:
Observe que x³ +a³ é um dos termos do desenvolvimento do binômio (x + a)³,ou seja
( x + a)³ = x³ + 3 a¹x² + 3 a²x¹ + a³
Vamos isolar x³ + a³ e transferir 3 ax² e 3 a²x para outro membro
(x + a)³ - 3 ax² - 3 a²x = x³ + a³ (x + a)³ - 3 ax.(x + a) = x³ + a³ (x + a ) [ ( x + a)² - 3 ax] = x³ + a³
( x + a) [ x² + 2 ax + a² - 3 ax] = x³ + a³ (x + a). (x² - ax + a²) = x³ + a³ (Soma de dois cubos)
Também é uma conseqüência de (x – a)³ veja:
(x – a)³ = x³ - 3 ax² + 3 a²x – a³ (x – a)³ = - 3 ax² + 3 a²x + x³ - a³ (x – a)³ + 3 ax (-a + x) = x³ - a³ (x - a) [ (x – a)² + (3ax) ] = x³ - a³
(x – a) [ x² - 2 ax + a² + 3 ax ] = x³ - a³
( x – a) [ x² + ax + a² ] = x³ - a³ (Diferença entre dois cubos)
3º CASO: DIFERENÇA ENTRE DOIS QUADRADOS
Ex.1: Fatorar a² - b²
Sol:
a² - b² = (a – b) (a + b)
Basta encontrar a raiz quadrada dos extremos mantendo-se o sinal central e em seguida
multiplique pelo seu conjugado observando que o conjugado de:
(a – b) é (a + b); (a + b) é (a –b); (- a + b) é (-a – b) e (- a –b) é (-a + b).
Ex.2; Fatorar 25 x² - 4y10
Sol:
25 x² - 4y10 = 5²x² - 2²y10 = (5x) ² – (2y5) ² = ( 5x + 2y5 ). ( 5x - 2y5 ).
Obs: É obvio que se você multiplicar (a - b) (a + b) obtemos a² - b² veja:
(a + b) (a – b) = a² - ab + ab – b² = a² - b².
Ex.3: Fatorar
Sol:
Ex.4: Quanto é 2001² - 1999² ?
Sol: Esta é uma diferença entre dois quadrados: 2001² - 1999² = (2001 – 1999) (2001 – 1999) =
= 2. 4000 = 8000
Ex.5: Fatorar x – y.
Sol:
x – y =
Obs: O termo diferença entre dois quadrados não quer dizer necessariamente, que os termos tem que possuir expoente par.
RARÍSSIMAS VEZES ISTO PODERÁ SER FEITO; MAS!
( x³ - y³ ) ( x³ + y³ ) = (x .x – y. y ) ( x. x + y .y )
SOMA ENTRE DOIS QUADRADOS
Como fatorar x² + y² = ?
Sol: É fatorável, mas “a soma entre dois quadrados não é um caso notável”.
x² + y² são termos do desenvolvimento (x + y)². Vejamos:
(x + y)² = x² + 2xy + y². Portanto (x + y)² - 2xy = x² + y² podemos considerar
isto como diferença entre dois quadrados:
x² + y² =[ (x + y) - 2xy ] [ (x + y) + 2xy ] onde x e y 0
Ex.1: Fatorar x² + 4.
Sol: Temos que: (x + 2)² = x² + 4x + 4 e que: x² + 4 = (x + 2)² - 4x. Agora vamos fatorar:
x² + 4 = [ ( x + 2) – 2• x ] . [ ( x + 2) + 2• x ] = (x – 2• x + 2) . (x + 2 •x + 2)
Obs.: Raríssimas vezes a² + b² é fatorável de forma simples..
4º CASO: TRINÔMIO DO QUADRADO PERFEITO
O que caracteriza o trinômio quadrado perfeito é que ele possui três termos; os termos
extremos possuem raízes quadradas e o dobro das raízes quadradas é exatamente o termo central com o sinal do 2º termo.Vejamos:
Ex: 01: Fatorar x² + 6x + 9.
Sol: Temos que x² + 6x + 9
CONFERINDO termo central: 2. (3). (x) = 6x
•x² = x •9 = 3
Daí então a FORMA FATORADA de x² + 6x + 9 = ( x + 3)²
Ex: 02: Fatorar 4x² - 8x +4
Sol: CONFERINDO: termo central: 2. (2). (2x) = 8x
Forma fatorada: (2x – 2)². Termos extremos: •4x² = 2x; •4 = 2.
Ex.3: Fatorar:
CONFERINDO: termo central: 2.(1/2. ab²) ( 5b) = 5ab³
Forma fatorada: Termos extremos:
5ºCASO: TRINÔMIO IMPERFEITO FATORAVEIS
Se os quadrados do trinômio perfeito não são quadrados perfeitos
Ex.01: Fatorar x² - 5x + 6
Sol:
Temos 6 que não tem raiz exata e é um dos extremos.
OBS: este caso já foi visto, use então fatoração por agrupamento decompondo o 2º termo:
-5x é o 2º termo decompondo em dois termos: -3x –2x = -5x e (-3). (-2) = 6
Então: x² - 5x + 6 = x² - 3x –2x + 2.3 = x (x – 3) – 2. (x - 3) = (x – 3). (x - 2).
IMPORTANTE: ao surgir mais de um caso de fatoração são aplicados vários casos de fatoração em seqüência. Vejamos alguns exemplos.
Ex.1: Fatorar: ax² - ay²
Sol:
ax² - ay² = a.(x² - y²) = a . (x – y). (x + y)
Ex.2: Fatorar: x² +2ax + a² - 9
Sol:
Verifique que os três primeiros termos formam quadrado perfeito:
x² +2ax + a² - 9 = ( x + a)² - 9 = ( x + a)² - 3² = [ ( x + a ) – 3 ] [( x + a) + 3 ] = (x + a –3) (x + a + 3)
Ex.3: Fatorar: 5xy ( a² + 2ab +b²) –4x.(a +b)³
Sol:
Verifique que o primeiro par de parênteses é um trinômio quadrado perfeito, então:
5xy (a² + 2ab +b²) –4x. (a +b)³ = 5xy (a+b)² - 4x (a + b)³ = x (a + b)² [ 5y –4.(a + b ) ] =
= x (a + b)² (5y – 4a – 4b )
Ex.4: Fatorar: y² - b² - y + b
Sol:
y² - b² -y + b = (y² - b²) – (y – b) = (y –b).(y + b) – (y – b) = (y – b) . (y + b –1).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE SIMPLIFICAR FRAÇÕES
È importante você conhecer com bastante firmeza SIMPLIFICAR FRAÇÕES. Vamos praticar o conteúdo dos assuntos aprendidos nas páginas anteriores, ou seja, FATORAÇÃO e de grande uso em outros estudos matemáticos e científicos de maneira geral.
Ex: Simplificar as frações:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Procure fatorar todos os itens, de 01 a 29, que será de grande valor para o seu aprendizado.
01) 3x² y² + b xy² - 12 x³y²z
02) 162 a4b + 108 a7b³ - 378 a²b4
03) 12 a4bn - 16 a³ bn + 1 –20 a²b n+ 2
04) 16 (x – y)² x + 24 ( x – y )³ y² + 32 ( x – y)³ z²
05) 4x² - 9
06) 1 – x 4
07) a² .b² - 25
08) (a + 36)² - 9 ( b – c)²
09) ( a+b).x² - ( a² - b²).x + (a +b)²
10) x² y² + 162xy + 6561
11) 25x4 y² -30x² yz³ + 9z6
12) [ (x +y)² -z] : [ x² - (y –z)²]
13) x² + 3xy + 2y²
14) a4 – 10a² +9
15) 2bc + b² + c² -a²
16) y² -5y –14
17) x²y² - 12xy +27
18) 1 –6x +12x² - 8x³
19) 27x³ +54a²b² +36ab4 + 8b6
20) y³ + 8
21) x 6 -64
22) 6ax +2ay –3x –3y
23) x4 – a² x² - b²x² +a²b²
24) 2ax –2ay –cx –36y +36x +cy
25) (2a +3b –1)² - (a – b +2)²
26) x³ + y² -2xy – a² - b² +2ab
27) a³ - b³ -a (a² - b²) +b (a –b)²
28) 125 a³ - 8b9
29) a4 – 4 a² b² + 16b4
APLICAÇÃO DOS CASOS DE FATORAÇÃO:
DEMONSTRAÇÃO DE FÓRMULA DE MONTANTE
No regime de juros simples de taxa “ i ” um principal ( c ) tranforma-se em “ n ” períodos
de tempos em um montante
M = C(1 + in)
Dem: Temos que M = j + C onde j = Cin
M 1 = C +C1i; M2 = C + C1i + C2i; M3 = C + C1i + C2i + C3i;
M = C + C 1i + C2 i + C3i +..................................Cni
M = C (1 + i + i + i ...................................... i)
M = C (1 + in)
No regime de juros compostos de taxa ( i ) um principal ( c ) transforma-se em um “n”
período de tempo, em um montante :
M = C ( 1 + i )n
Dem: M = C + j = C + Cin
Para n = 1 => M1 = C + Ci => M1 = C ( 1 + i )
Reaplicando M1
Para n = 2 => M2 = M1+ M1i = C ( 1 + i ) + C( 1 + i )i = C ( 1 + i) ( 1 + i)
=> M2 = C ( 1 + i )²
Reaplicando M2
Para n = 3 => M3 = M2 + M2i = C ( 1 + i )² + C (1 + i)².i = C ( 1 + i )² ( 1 + i)
=> M3 = C ( 1 + i )³
Daí então, para n = n => Mn = C ( 1 + i )n
Casos de racionalização
a ² - b² , a diferença entre dois quadrados e a³ b³, a soma e diferença entre dois cubos
são muito usadas para racionalização (remoção do radial em denominadores).
Ex.1) Obs. : Onde a > 0 ; b >0 e a b
Ex.02) Verificar que:
Sol: Vamos aplicar a propriedade distributiva do binômio para o trinômio:
Ex3) com a b.
Você sabia que qualquer número que atribuímos a “ a² + 2ab + b² ” obtemos sempre um
valor que é quadrado perfeito. Vamos dar exemplo, atribuir a = 21 e b = 16.
( 21 )² + 2 (21)(16) + (16)² = (441 + 672 + 256 = 1369 = 37
è obvio pois: a² + 2ab + b² = ( a + b)² = (a + b)
substituindo: (a + b ) = ( 21 + 16) = 37.
1. Fator comum em evidência: 12x2 + 4x3 - 8x4
Nesta técnica a gente verifica cada um dos termos, procurando ver se os coeficientes (o que fica frente das variáveis x, y etc), podem ser divididos por um certo número. Neste caso 12, +4, -8 podem ser divididos por 4. Então, colocamos o número 4 em evidência, ou seja, antes de um parênteses, dividimos cada um dos coeficientes por 4 e escrevemos o
resultado no lugar o próprio coeficiente. Veja: 12x2 + 4x3 - 8x4
4.(3x2 + 1x3 - 2x4). Observe que se multiplicarmos o 4 pelos novos coeficientes 3, 1 e -2 iremos ter de volta os coeficientes originais 12, 4 e -8.
Nós escolhemos o 4 para dividir os coeficientes porquê ele é o maior número que pode dividir cada um dos coeficientes. Não poderíamos ter escolhido, o 8, por exemplo, pois ele é maior que o 4 e não daria para fazer divisão exata, ok ?
1. Fator comum em evidência (Continuação) :
12x2 + 4x3 - 8x4 = 4 (3x2 + 1x3 - 2x4)
Agora precisamos verificar se podemos dividir cada um dos termos que estão dentro
dos parênteses, por um mesmo fator literal (que contém letra). Neste caso podemos
notar que o fator x2 serve para dividir cada uma dos termos da expressão.
Desta forma, escrevemos o x2 antes dos parênteses, ao lado do número 4, e dividimos
cada um dos termos por ele. Veja como fica:
4x2 (3 + 1x - 2x2)
Lembrete: x4 / x3 = x (Divisão de
de mesmba base: repete a base e subtrai
os expoentes.
Observe que se multiplicarmos o 4x2 pelos termos dentro dos parênteses iremos obter
a expressão original 12x2 + 4x3 - 8x4. Desta forma, através da técnica de por o fator
comum em evidência, da fatoração, concluímos que 12x2 + 4x3 - 8x4 = 4x2 (3 + x - 2x2).
2. Agrupamento dos termos semelhantes: xy + xz + ay + az
Esta técnica de fatoração consiste em juntar os termos que são iguais e tentar
colocar algo em evidência como fizemos nos exemplos anteriores. Vejamos:
vamos fatorar xy + xz + ay + az.
Primeiro a gente tenta ver os termos que têm partes iguais. Neste caso o xy e xz
têm algo igual: a letra x e, portanto, a gente pode por o x em evidência, que nem fizemos
no exemplo anterior, e o y e o z dentro dos parênteses. Veja:xy + xz = x(y +z).
Então até agora estamos assim: xy + xz + ay + az = x(y +z) + ay + az.
Segundo, a gente nota também que o ay e o az têm parte comum: a letra a. Então
fazemos a mesma coisa: ay + az = a (y + z). Desta forma a expressão original
xy + xz + ay + az é igual a x(y +z) + a (y + z). Finalmente notamos que (y + z) é
comum a x e a, então fazemos novamente a mesma coisa. Colocamos o (y + z) em
evidência e o x e o a dentro dos parênteses. Veja: (y + z) (x + a). Observe que se
fizermos esta multiplicação obteremos a expressão original pois (y + z) (x + a) = xy + xz + ay + az
3. Diferença de dois quadrados: x2 - y2
Esta técnica consiste em notar que a expressão, ou parte dela, nada mais é que
o resultado de um produto notável do tipo produto da soma pela diferença.
Neste caso, percebemos que a expressão x2 - y2 é o resultado do desenvolvimento
do produto notável (x + y )( x - y ).
Então ao invés de escrevermos x2 - y2 simplesmente escrevemos os fatores
(x + y )( x - y ) pois x2 - y2 = (x + y )( x – y).
4. Trinômio quadrado perfeito: x2 +2xy + y2
Assim como o caso anterior, esta técnica consiste em notar que a expressão, ou parte dela,
nada mais é que o resultado de um produto notável do tipo a mais b ao quadrado.
Neste caso, percebemos que a expressão x2 +2xy + y2 é o resultado do desenvolvimento
do produto notável (x + y )2.
Então ao invés de escrevermos x2 +2xy + y2 simplesmente escrevemos (x + y )2 pois
x2 +2xy + y2 = (x + y )2.
5. Trinômio do segundo grau: x2 +7x +12
Nesta última técnica, procuramos identificar na expressão, um trinômio do
segundo grau. No exemplo acima, se observarmos atentamente, notaremos
que -7 é a soma das raízes da equação e 12 é o produto destas raízes.
Lembrete: Numa equação do segundo grau a soma das raízes é dada por
-b/a e o produto é dado por c/a, sabendo-se que neste caso a=1, b=7,
e c=12, fica fácil perceber que a Soma é -7/1=-7 e o Produto é 12/1 = 12.
Agora que sabemos a soma (-7) e o produto (12) calculamos por tentativa,
dois número cuja soma seja -7 e o produto seja 12...é claro que os números
são -3 e -4 pois (-3) + (-4) = -7 e (-3).(-4) = 12. Daí escrevemos os fatores
(x - primeira raiz ).(x - segunda raiz) = (x - (-3).(x - (-4) = (x + 3) (x + 4).
Note que efetuando a multiplicação dos fatores (x + 3) (x + 4) obteremos
a expressão original x2 +7x +12.
Parte 8 - INEQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAU.
Parte 9 - Sistemas de equação e inequações do 1º e 2º grau.
Inequações do 2º grau
Para resolvermos uma inequação do 2o grau, utilizamos o estudo do sinal. As inequações são representadas pelas desigualdades: > , > , < , < .
Ex: I) x2 – 3x +6 > 0
Resolução:
x2 – 3x +6 = 0
x´= 1, x´´ = 2
Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero devemos fazer um esboço do gráfico e ver para quais valores de x isso ocorre.
Vemos, que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e="" x="">2
Resposta: {xÎR| x<1 ou="" x="">2}
Inequações simultâneas
Ex: -8 < x2 –2x –8 < 0
Resolução:
1o passo) Separar as inequações , obedecendo o intervalo dado.
Temos: I) x2 – 2x –8 > -8 e II) x2 –2x –8 <0 br="">2o passo) Determinar as raízes ou zeros de cada uma das funções obtidas pela separação.
I) x2 – 2x > 0 II) x2 –2x –8 <0 br="">x´ = 0 x´= x´´ = 1
x´´ = 2
3o passo) Determinado x1 e x2 , fazer o estudo do sinal para cada função.
I)x<0 ou="" x="">2 II)x diferente de 1.
4o passo) Calcular a solução S, que é dada pela interseção dos intervalos de S1 e S2.
Obs: o quadro de resposta será preenchido pelo intervalo achado.
Resposta: {xÎR| x<0 ou="" x="">2}
o Inequação produto e inequação quociente,
São as desigualdades da forma: f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) .g(x) > 0 e f(x) .g(x) < 0. f(x) / g(x) > 0, f(x) / g(x) < 0, f(x) / g(x) > 0 e f(x) / g(x) < 0, respectivamente.
Ex: I) (x2 –9x –10) (x2 – 4x +4) < 0
Resolução:
1o passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamente
x2 –9x –10 = 0 (I)
x2 – 4x +4 = 0 (II)
2o passo) Determinar as raízes das funções
(I) x´= -1, x´´ = 10
(II) x´= x´´ = 2
3o passo) Fazer o estudo do sinal para cada função.
I) x<-1 ou="" x="">10 II) x¹2
4o passo) Calcular a solução, que é dado pelo sinal de desigualdade da função de origem, isto é:
> intervalo positivo e bolinha fechada
> intervalo positivo e bolinha aberta
< intervalo negativo e bolinha fechada
< intervalo negativo e bolinha aberta
Obs1: no quadro de respostas (ou soluções), se os intervalos forem em: f(x) positivo e g(x)positivo o h(x) será +, assim temos: + e + = + ; + e - = - ; - e + = - ; - e - = +
Obs2: Na inequação quociente observar a CE do denominador, que influenciará o resultado nos intervalos, no que diz respeito a intervalo fechado ou aberto
Assim, as únicas regiões positivas (maiores que zero) são em x<-1 e="" x="">10
Resposta: {x E R | x<-1 ou="" x="">10}
Parte 10 - Radicais.
Radiciação
Potenciação de Radicais
Observando as potencias, temos que:
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:
Divisão de Radicais
Segundo as propriedades dos radicais, temos que:
De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos:
: =
Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos:
Racionalização de denominadores
Considere a fração: que seu denominador é um número irracional.
Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração equivalente:
Observe que a fração equivalente possui um denominador racional.
A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores.
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.
Principais casos de racionalização:
1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:
é o fator racionalizante de , pois . = = a
2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:
é o fator racionalizante de
é o fator racionalizante de
é o fator racionalizante de
é o fator racionalizante de
Potência com expoente racional
Observe as seguintes igualdades:
ou
Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.
De modo geral, definimos:
, com a R,m,n, N, a >0, n>0, m>0
Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:
Propriedade das potências com expoentes racionais
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros.
Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:
Exemplo:
Parte 11 - Fatoração do trinômio do 2º grau.
Fatoração do trinômio do segundo grau
Observe o trinômio x2 − 2x − 35, cuja forma fatorada é (x − 7).(x + 5), para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:
a2 + 8a + 12 = (a + 2).(a + 6)
x2 − 15x − 100 = (x − 20).(x + 5)
Parte 12 - Razão e proporção.
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Matemática
RAZÃO E PROPORÇÃO
RAZÃO E PROPORÇÃO
Por Matemática
Publicado 19/10/2007
Matemática
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Matemática
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Razão
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ¹ 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou a : b.
Exemplo:
Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão)
Voltando ao exercício anterior, vamos encontrar a razão entre o número de moças e rapazes.
Lendo Razões
Termos de uma Razão
Grandezas Especiais
Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.
Exemplo:
Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320km. Vamos calcular a escala deste mapa.
As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm
Velocidade média, é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as unidades são diferentes)
Exemplo:
Um carro percorre 320km em 4h. determine a velocidade média deste carro.
Velocidade= 320/4 = 80
Densidade demográfica, é a razão entre o número de habitantes e a área.
Exemplo:
O estado do Ceará tem uma área de 148.016 km2 e uma população de 6.471.800 habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará.
Razões Inversas
Vamos observar as seguintes razões.
Observe que o antecessor(5) da primeira é o conseqüente(5) da segunda.
Observe que o conseqüente(8) da primeira é o antecessor(8) da segunda.
O Produto das duas razões é igual a 1, isto é 5/8 x 8/5 =1
Dizemos que as razões são inversas.
Exemplos:
Parte 13 - Grandezas direta e inversamente proporcional. Divisão proporcional.
Divisão em duas partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas
A
________________________________________p = B
________________________________________q
A solução segue das propriedades das proporções:
A
________________________________________p = B
________________________________________q = A+B
________________________________________p+q = M
________________________________________p+q = K
O valor de K é que proporciona a solução pois:
A = K p e B = K q
Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:
A
________________________________________2 = B
________________________________________3 = A+B
________________________________________5 = 100
________________________________________5 = 20
Segue que A=40 e B=60.
Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:
A
________________________________________8 = B
________________________________________3 = A-B
________________________________________5 = 60
________________________________________5 =12
Segue que A=96 e B=36.
Divisão em várias partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.
X1
________________________________________p1 = X2
________________________________________p2 = ... = Xn
________________________________________pn
A solução segue das propriedades das proporções:
X1
________________________________________p1 = X2
________________________________________p2 =...= Xn
________________________________________pn = X1+X2+...+Xn
________________________________________p1+p2+...+pn = M
________________________________________P = K
Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:
A
________________________________________2 = B
________________________________________4 = C
________________________________________6 = A+B+C
________________________________________P = 120
________________________________________12 =10
logo A=20, B=40 e C=60.
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.
A solução segue das propriedades das proporções:
A
________________________________________2 = B
________________________________________4 = C
________________________________________6 = 2A+3B-4C
________________________________________2×2+3×4-4×6 = 120
________________________________________-8 = – 15
logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! :-)
Divisão em duas partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q.
Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo:
A
________________________________________1/p = B
________________________________________1/q = A+B
________________________________________1/p+1/q = M
________________________________________1/p+1/q = M.p.q
________________________________________p+q = K
O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.
Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:
A
________________________________________1/2 = B
________________________________________1/3 = A+B
________________________________________1/2+1/3 = 120
________________________________________5/6 = 120.2.3
________________________________________5 = 144
Assim A=72 e B=48.
Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:
A
________________________________________1/6 = B
________________________________________1/8 = A-B
________________________________________1/6-1/8 = 10
________________________________________1/24 = 240
Assim A=40 e B=30.
Divisão em várias partes inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso
X1
________________________________________1/p1 = X2
________________________________________1/p2 = ... = Xn
________________________________________1/pn
cuja solução segue das propriedades das proporções:
X1
________________________________________1/p1 = X2
________________________________________1/p2 =...= Xn
________________________________________1/pn = X1+X2+...+Xn
________________________________________1/p1+1/p2+...+1/pn = M
________________________________________1/p1+1/p2+...+1/pn
Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:
A
________________________________________1/2 = B
________________________________________1/4 = C
________________________________________1/6 = A+B+C
________________________________________1/2+1/4+1/6 = 220
________________________________________11/12 = 240
A solução é A=120, B=60 e C=40.
Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções:
A
________________________________________1/2 = B
________________________________________1/4 = C
________________________________________1/6 = 2A+3B-4C
________________________________________2/2+3/4-4/6 = 10
________________________________________13/12 = 120
________________________________________13
logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.
Existem proporções com números fracionários! :-)
Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:
A
________________________________________c/p = B
________________________________________d/q = A+B
________________________________________c/p+d/q = M
________________________________________c/p+d/q = M.p.q
________________________________________c.q+p.d =K
O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.
Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:
A
________________________________________2/5 = B
________________________________________3/7 = A+B
________________________________________2/5+3/7 = 58
________________________________________29/35 = 70
Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.
Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver as proporções:
A
________________________________________4/6 = B
________________________________________3/8 = A-B
________________________________________4/6-3/8 = 21
________________________________________7/24 = 72
Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.
Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso
X1
________________________________________p1/q1 = X2
________________________________________p2/q2 =...= Xn
________________________________________pn/qn
A solução segue das propriedades das proporções:
X1
________________________________________p1/q1 = X2
________________________________________p2/q2 =...= Xn
________________________________________pn/qn = X1+X2+...+Xn
________________________________________p1/q1+p2/q2+...+pn/qn
Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:
A
________________________________________1/4 = B
________________________________________2/5 = C
________________________________________3/6 = A+B+C
________________________________________1/4+2/5+3/6 = 115
________________________________________23/20 = 100
logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.
A montagem do problema fica na forma:
A
________________________________________1/2 = B
________________________________________10/4 = C
________________________________________2/5 = 2A+3B-4C
________________________________________2/2+30/4-8/5 = 10
________________________________________69/10 = 100
________________________________________69
A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.
Regra de Sociedade
Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn.
Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:
pk = Ck tk
e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:
C = C1 + C2 + ... + Cn
A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.
Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?
Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:
p1=50x40=2000; p2=60x30=1800; p 3=30x40=1200
A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso:
A
________________________________________2000 = B
________________________________________1800 = C
________________________________________1200
A solução segue das propriedades das proporções:
A
________________________________________2000 = B
________________________________________1800 = C
________________________________________1200 = A+B+C
________________________________________5000 = 25000
________________________________________5000 = 5
A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.
Parte 14 - Regra de três simples e composta.
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
________________________________________
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 3
480 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
________________________________________
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas Preço (R$)
3 120
5 x
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
________________________________________
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia Prazo para término (dias)
8 20
5 x
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
composta.
Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
________________________________________
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
________________________________________
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
________________________________________
Exercícios complementares
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?
02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho ?
03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?
04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?
05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ?
06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?
07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ?
08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?
09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?
10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?
11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?
12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?
13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.
a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?
b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?
c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?
14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?
15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?
16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?
17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?
18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?
19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ?
20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?
21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?
22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?
23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ?
24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?
25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?
26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?
27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?
28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).
29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?
30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?
31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta?
32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ?
33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ?
34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos recenseadores precisam ser contratados ?
35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltas completas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ?
36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, responda :
a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ?
b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando?
37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?
38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro?
39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se a velocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância?
40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta?
41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4m3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço ?
42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é o comprimento verdadeiro do fio?
43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ?
44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?
45 – Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede ?
46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ?
47 – Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade que a primeira ?
48 – Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro ?
49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 2 horas ?
50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite ?
51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ?
52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?
53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?
54 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ?
55 – A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50 m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar o comprimento para que a área do terreno seja mantida ?
56 – Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18 pedreiros para construir a mesma quadra ?
57 – Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ?
58 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?
59 – Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta ?
60 – ( MACK – SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior enquanto a menor dá 100 voltas ?
61 – Um caminhão percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá 10 dias, correndo 14 horas por dia?
62 – Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?
63 – Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia?
64 – Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantos quilogramas serão precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ?
65 – Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 de combustível?
66 – Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 l de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.
67 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?
68 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ?
69 – Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento ?
70 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?
71 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?
72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?
73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias?
74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?
75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?
76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?
78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?
79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?
80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.
81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?
82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?
83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.
Regra de Três – Questões Objetivas
84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em:
a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias
85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa :
a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50
86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será:
a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000
87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:
a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km
88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas ?
a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas
89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de ração ?
a) 10 dias. b) 12 dias. c) 14 dias. d) 18 dias
90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia?
a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias
91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de FórmuIa 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minuto e 30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se sua velocidade média cair para 180km por hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de:
a) 2 min b) 2 min e 19 segundos
c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos
92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá :
a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros
93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 18
94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ?
a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas
95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ?
a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00
c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00
96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :
a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia.
c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia.
97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam :
a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00.
c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00
98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?
a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5
99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão :
a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias.
100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em:
a) 8 dias b) 9 dias
c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.
101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ?
a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos
102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:
a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos
d) 5 gatos e) 6 gatos
102 – ( FAAP – SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :
a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias
103 – ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a dois dias o tempo de produção, é necessário :
a) triplicar o nº de operários
b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia
c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de
operários
d) duplicar o nº de operários
e) duplicar o nº de operários e o número de horas
trabalhadas por dia
104 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ?
a) 7h 42 min b) 7h 44 min c) 7h 46 min
d) 7h 48 min e) 7h 50 min
105 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:
a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias
d) 45 dias e) 180 dias
106 – ( CEFETQ – 1980 ) Em um laboratório de Química, trabalham 16 químicos e produzem em 8 horas de trabalho diário, 240 frascos de uma certa substância. Quantos químicos são necessários para produzir 600 frascos da mesma substância, com 10 horas de trabalho por dia ?
a) 30 b) 40 c) 45 d) 50
107 – ( Colégio Naval – 1995 ) Se K abelhas, trabalhando K meses do ano, durante K dias do mês, durante K horas por dia, produzem K litros de mel; então, o número de litros de mel produzidos por W abelhas, trabalhando W horas por dia, em W dias e em W meses do ano será :
a) b) c) d) e)
Respostas dos Exercícios de Regra de Três
01) 40 kg 02) 14 sacas
03) 42 litros 04) 60 min
05) 60 minutos = 1 hora 06) 8 máquinas
07) 702 litros 08) 77 caixas
09) 532 km 10) 15 litros
11) 33 h 20 min 12) 6 minutos
13) 9 min / 54 min / 15 dias 14) 14 cm
15) 10 cm 16) 40 m3
17) 5.250 voltas 18) 110 g
19) 18 cm 20) 55 fitas
21) 56.250 litros 22) Nota 8
23) 9 metros 24) 30 m
25) 371 cm ou 3,71 m 26) 7.840 litros
27) 43.925 cm 28) 3.600 g
29) 300 azulejos 30) 40 graus
31) 770 m2 32) 42 m/s
33) 108 km/h 34) 270 recenseadores
35) 1.034 voltas 36) a)84 min b) 1 h 24 min
37) 14 dias 38) 10 dias
39) 4 horas 40) 60 km/h
41) 20 caminhões 42) 41 m
43) 20 metros 44) 40 dias
45) 14 peças 46) 16 pessoas
47) 4 h 15 min 48) 96 horas
49) 25 operários 50) 40 latas
51) 3 minutos 52) 10 caminhões
53) 4 horas 54) 25 m
55) 20 cm 56) 16 dias e 16 horas
57) 320 páginas 58) 420 páginas
59) 80 km/h 60) 75 voltas
61) 2.170 km 62) 2 horas
63) 4 dias 64) 150 kg
65) 50 dias 66) 250 litros
67) 12 operários 68) 15 dias
69) 16 dias 70) 4 dias
71) 216 caixas 72) 7 kw
73) 24 ovos 74) 5 min
75) 12 máquinas 76) 5 kg
77) 9 horas 78) 1.800 toneladas
79) 18 dias 80) 300 litros
81) 360 famílias 82) 480 colares
83) 5 horas 84) letra d
85) letra b 86) letra c
87) letra d 88) letra b
89) letra c 90) letra b
91) letra c 92) letra d
93) letra c 94) letra c
95) letra b 96) letra a
97) letra a 98) letra d
99) letra c 100) letra a
101) letra c 102) letra a
103) letra e 104) letra d
105) letra d 106) letra d
107) letra e
Parte 15 - Média aritmética, geométrica e ponderada.
Média aritmética simples
É o resultado da divisão da soma de n valores por n. Por exemplo, a média entre 5, 10 e 6 será:
Média aritmética ponderada
Neste tipo de média aritmética, cada número que fará parte da média terá um peso. Este peso será multiplicado pelo número, que serão somados e dividos depois pela soma dos pesos. Veja o exemplo:
Média Geométrica
Entre n valores, é a raiz de índice n do produto desses valores. Veja no exemplo, a média geométrica entre 1, 2 e 4:
Média harmônica
A média harmônica equivale ao inverso da média aritmética dos inversos de n valores. Parece complicado, mas é bastante simples, veja o exemplo:
Média harmônica entre 2, 6 e 8. Primeiramente é necessário calcular a média aritmética dos inversos dos valores dados:
Depois, faz-se o inverso do resultado, tendo finalmente a média harmônica de 2, 6 e 8:
Em todas as médias o resultado estará entre o maior e o menor número dado.
Para os mesmos valores, a média aritmética terá o maior valor, seguida da média geométrica e depois a média harmônica.
Parte 16 - Polinômios.
Ensino Médio: Polinômios e Equações algébricas
A função polinomial
Grau de um polinômio
Igualdade de polinômios
Soma de polinômios
Produto de polinômios
Espaço vetorial de polinômios
Sobre o grau de um polinômio
Algoritmo da divisão polinomial
Zeros de um polinômio
Eq. algébricas e Transcendentes
Métodos de resolução algébrica
Teorema Fundamental da Álgebra
Algumas identidades polinomiais
Algumas desigualdades polinomiais
A FUNÇÃO POLINOMIAL
Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:R R definida por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
onde ao, a1, a2, ..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente ao é o termo constante.
Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.
Uma das funções polinomiais mais importantes é f:R R definida por:
f(x) = a x² + b x + c
O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros. Ver o link A função quadrática nesta mesma página para entender a importância da função polinomial quadrática.
O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).
Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:
p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27
Grau de um polinômio
Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).
Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:
Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.
Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico.
Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.
Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.
Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.
Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.
Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.
É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.
Igualdade de polinômios
Os polinomios p e q em P[x], definidos por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn
são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:
ak=bk
Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.
Assim, um polinômio:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:
ak= 0
O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x].
O polinômio unidade (identidade para o produto) p1=1 em P[x], é o polinômio:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ...+ anxn
tal que ao=1 e ak=0, para todo k=1,2,3,...,n.
SOMA DE POLINÔMIOS
Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnxn
Definimos a soma de p e q, por:
(p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x²+...+(an+bn)xn
A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima, possui algumas propriedades:
Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
(p + q) + r = p + (q + r)
Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p + q = q + p
Elemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal que
po + p = p
qualquer que seja p em P[x].
Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que
p + q = 0
Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.
Produto de polinômios
Sejam p, q em P[x], dados por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn
Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:
r(x) = p(x)•q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnxn
tal que:
ck = aobk + a1bk-1 + a2 bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1 b1 + akbo
para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera ck, a soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.
A estrutura matemática (P[x],•) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui várias propriedades:
Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
(p • q) • r = p • (q • r)
Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p • q = q • p
Elemento nulo: Existe um polinômio po(x)=0 tal que
po • p = po
qualquer que seja p em P[x].
Elemento Identidade: Existe um polinômio p1(x)=1 tal que
p1 • p = p
qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p1=1.
Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios
Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
p • (q + r) = p • q + p • r
Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,•) é denominada anel comutativo com identidade.
Espaço vetorial dos polinômios reais
Embora uma sequência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais, usaremos neste momento uma notação para sequência no formato de um conjunto.
O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto S das sequências quase-nulas de números reais , isto é, as sequências da forma:
p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)
Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da sequência são nulos.
A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômio
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
e colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita de zeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual tais sequências são denominadas sequências quase-nulas.
Esta forma de notação
p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)
funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma dos elementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.
Vamos considerar S o conjunto das sequências quase-nulas de números reais com as operações de soma, multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.
Sejam p e q em S, tal que:
p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,am,0,0,0,...)
q = (bo,b1,b2,b3,b4,...,bn,0,0,0,...)
e vamos supor que m < n.
Definimos a soma de p e q, como:
p+q = (ao+bo,a1+b1,a2+b2,...,an+bn,0,0,0,...)
a multiplicação de p em S por um escalar k, como:
k.p = (kao,ka1,ka2,ka3,ka4,...,kam,0,0,...)
e o produto de p e q em S como:
p•q = (co,c1,c2,c3,c4,...,cn,0,0,0,...)
sendo que
ck = aobk + a1bk-1 + a2bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1b1+akbo
para cada ck (k=1,2,3,...,m+n).
O conjunto S com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.
Características do grau de um polinômio
Se gr(p)=m e gr(q)=n então
gr(p.q) = gr(p) + gr(q)
gr(p+q)
Algoritmo da divisão de polinômios
Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que
p(x) = g(x) q(x)
Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m
Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c e
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:
xk-ck = (x-c)( xk-1 + cxk-2 + c²xk-3 +...+ ck-2x+ck-1 )
então para
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
temos que
p(c) = ao + a1c + a2c² + a3c³ +...+ ancn
e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:
p(x)-p(c) = a1(x-c) + a2(x²-c²) + a3(x³-c³) +...+ an(xn-cn)
o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obter
p(x)- p(c)=(x-c) q(x)
onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever:
p(x)=(x-c) q(x)+p(c)
e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.
Zeros de um polinômio
Um zero de um polinômio real p em P[x] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c)=0. O zero de um polinômio também é denominado raiz do polinômio.
Uma consequência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que:
x-c é um fator de p se, e somente se, r(x)=f(c)=0
o que é equivalente a:
c é um zero de p, sse, x-c é um divisor de p=p(x)
Equações Algébricas e Transcendentes
Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x.
Exemplos
2x²+3x+7=0
3x²+7x½=2x+3
A função exponencial exp(x)=ex pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendo potências de x:
ex = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x4/4! + x5/5! +...
assim, a equação
x²+7x=ex
não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.
Quando a equação é da forma:
p(x) = 0
onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.
Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional.
Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x½=2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.
Observação: Uma equação algébrica irracional sempre poderá ser colocada na forma de uma equação polinomial. Quando uma equação algébrica irracional é transformada em uma equação polinomial, as raízes da nova equação poderão não coincidir com as raízes da equação original e as raízes obtidas desta nova equação que não servem para a equação original são denominadas raízes estranhas.
Exercício: Apresentar uma equação irracional que tenha raízes estranhas.
Métodos de resolução algébrica
Alguns tipos especiais de equações podem ser resolvidos.
Equação do 1o. grau: A equação ax+b=0 com a diferente de zero, admite uma única raíz dada por:
x = -b/a
Equação do 2o. grau: A equação ax²+bx+c=0 com a diferente de zero, admite exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos, dadas por:
x1=(-b+R[b²-4ac] / 2a
x2=(-b- R[b²-4ac]/ 2a
onde R[z] é a raiz quadrada de z.
Nesta página há dois links que tratam sobre o assunto: Equações do Segundo grau que dá um tratamento mais detalhado sobre o assunto e Cálculo de raízes de uma Equação do 2o.grau que é um formulário onde você entra com os coeficientes e obtém as raízes sem muito esforço.
Equação cúbica: A equação ax³+bx²+cx+d=0 com a não nulo, admite exatamente três raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Tartaglia (Cardano).
Veja o nosso link O método de Tartaglia (Eq. do 3o.grau) onde você poderá encontrar material mais aprofundado sobre o assunto.
Para obter apenas o cálculo das três raízes de uma equação do 3o. grau, vá ao nosso link Raízes de uma Equação do 3o. grau.
Equação quártica: A equação ax4+bx³+cx²+dx+e=0 com a não nulo, admite exatamente quatro raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.
Equação quíntica: Para equações de grau maior ou igual a 5, não existem métodos algébricos para obter todas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações com grande precisão.
Existe uma versão da planilha Kyplot disponível gratuitamente na Internet, que dispõe de um mecanismo capaz de calcular com grande precisão raízes de equações polinomiais de grau n.
Em Português, há um excelente livro que trata sobre Equações Algébricas e a história da Matemática subjacente: "O Romance das Equações Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1999."
Teorema Fundamental da Álgebra
Teorema (Gauss): Toda equação algébrica polinomial com coeficientes reais ou complexos, admite no conjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.
Teorema equivalente: Toda equação algébrica polinomial de grau n, com coeficientes reais ou complexos, admite exatamente n raízes, no conjunto dos números complexos.
Consequência: Toda equação algébrica polinomial real de grau n, admite no máximo n raízes, no conjunto dos números reais.
Algumas identidades polinomiais
Ver o link Produtos Notáveis nesta mesma página onde existem 33 identidades polinomiais, sendo algumas não triviais.
Algumas desigualdades polinomiais
Algumas desigualdades bastante comuns que podem ser obtidas a partir das identidades polinomiais:
a²+b² > 2ab
(a+b)/2 > R[a.b]
a²+b²+c² > ab+ac+bc
onde R[x] é a raiz quadrada de x e o símbolo > significa maior ou igual.
Há vários livros de Matemática dedicados somente a desigualdades pois uma grande parte da Matemática é construída através deste conceito. Áreas onde existem muitas aplicações para as desigualdades são a Análise Matemática e a Programação Linear.
Se os números -3, a, b são as raízes da equação , então o valor de é
(A) -6
(B) -2
(C) -1
(D) 2
(E) 6
Para este exercício, devemos saber que a soma de TODAS raízes de um polinômio é SEMPRE dada pela fórmula:
Onde "b" é o coeficiente do termo de grau uma unidade menor do que o grau do polinômio (no nosso caso b=5), e "a" é o coeficiente do termo de maior grau (no nosso caso é a=1).
Portanto, a soma de todas as raízes do polinômio do exercício será:
O exercício diz que as raízes são -3, a, b. Acabamos de descobrir que a soma destas três raízes é -5, então:
-3 + a + b = -5
a + b = -5 +3
a + b = -2
Resposta correta, "B"
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A soma de duas raízes da equação é 4. O valor de m é, então, igual a:
(A) 6
(B) 12
(C) 18
(D) 24
(E) 30
Sendo um polinômio do 3o grau, sabemos que este terá exatamente três raízes. Podemos dizer que ela são W, Y, Z.
O exercício diz que a soma de duas é 4, ou seja:
W + Y = 4
Vamos utilizar a fórmula da soma das raízes de um polinômio. Mas antes devemos lembrar que o termo "b" deste polinômio é zero, pois é o coeficiente do termo x2 e na equação não temos x2. Então:
Esta é a soma das três raízes, ou seja:
W + Y + Z = 0
Utilizando o valor da soma W + Y, temos:
4 + Z = 0
Z = -4
Portanto, sabendo que uma das raízes do polinômio é -4, podemos substituir o "x" do polinômio por -4 e igualar a zero (pois as raízes de um polinômio são os valores de "x" que resultam zero!). Substituindo:
(-4)3-10.(-4)+m=0
-64 +40 +m = 0
-24 + m = 0
m = 24
Resposta certa, letra "D".
(MACKENZIE-80) As equações e possuem uma raiz comum:
(A) somente se k = -1
(B) somente se k = 3
(C) somente se k = 4
(D) qualquer que seja k ≠ 0
(E) n.d.a.
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Iniciaremos calculando as raízes do polinômio do segundo grau , através da fórmula de Bhaskara.
Os coeficientes, para utilizar Bhaskara, são:
a = k
b = -1
c = - (k + 1)
Vamos começar calculando o valor do discriminante (Δ).
Ou, arrumando as parcelas:
Note, que podemos escrever este valor de Δ como um produto notável:
Agora, aplicando Bhaskara para descobrir as raízes do polinômio do segundo grau:
Podemos cortar a raiz quadrada com o expoente 2:
Calculando as raízes separadamente:
Portanto, estas são as raízes do polinômio do segundo grau.
Lembrando que, raiz é o valor de x, que, quando substituido no polinômio, resulta ZERO.
Então, se o exercício diz que os dois polinômios têm uma raiz comum, um destes dois valores, quando substituidos no polinômio do terceiro grau, resultará ZERO.
Vamos substituir x' no polinômio do terceiro grau.
Vamos passar o termo (k+1) para o outro lado da igualdade
Vamos elevar os termos que possuem expoentes.
Podemos cortar o fator "k" que está na primeira fração à esquerda:
Tirando o MMC, que vale k²:
Cortando o MMC:
Note que podemos colocar o termo (1+k) em evidência no lado esquerdo da igualdade:
E agora podemos cortá-lo junto com o (k+1) do lado direito (pois 1 + k = k + 1).
Note, que chegamos em uma verdade matemática, ou seja, não interessa qual o valor de "k", os dois polinômios já têm uma raiz comum, que vale:
Obs.: Na resposta não precisamos indicar "qualquer que seja k ≠ 0", pois k ≠ 0 já foi dito no enunciado. Sendo assim, a resposta "D" está correta, mas não precisava ser assim, poderia ser "qualquer que seja k".
( IME - 2001 ) Determine todos os números inteiros m e n para os quais o polinômio é divisível por .
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A divisão que o exercício quer que exista é:
Para que esta divisão seja exata, o polinômio de cima deve, OBRIGATORIAMENTE, possuir TODAS as raízes do polinômio de baixo.
Raiz de um polinômio é o valor de "x" que, quando substituido na equação, resulta zero. Portanto, a raiz do polinômio de baixo é:
x + a = 0
x = -a
Sendo assim, o polinômio de cima deve ter uma raiz igual a (-a). Como sabemos, ao substituir o valor de x do polinômio por sua raiz, o resultado é zero. Substituindo:
2(-a)m + a3n . (-a)m-3n - am = 0
Para facilitar os cálculos, vamos substituir o (-a) por (-1) . a
2 . [(-1) . a]m + a3n . [(-1) . a]m-3n - am = 0
Aplicando a propriedade de potenciação que diz: (w . y)b = wb . yb, temos:
2 . (-1)m . am + a3n . (-1)m-3n . am-3n - am = 0
No termo em itálico da equação acima, vamos utilizar a seguinte propriedade de potenciação:
Aplicando a propriedade no termo em itálico:
2 . (-1)m . am + a3n . (-1)m-3n . am - am = 0
a3n
Note, que, podemos cortar os termos a3n (em negrito na equação acima) da segunda parcela:
2 . (-1)m . am + (-1)m-3n . am - am = 0
Vamos passar a parcela -am para o outro lado da igualdade:
2 . (-1)m . am + (-1)m-3n . am = am
Do lado esquerdo da igualdade, podemos colocar o termo am em evidência:
am . [2 . (-1)m + (-1)m-3n] = am
Agora podemos cortar o termo am dos dois lados da igualdade:
2 . (-1)m + (-1)m-3n = 1
Note que do lado esquerdo da igualdade (em cinza + verde), as únicas combinações que poderemos ter são:
2 +1
2 - 1
-2 +1
-2 - 1
Pois os termos (-1) elevados a qualquer expoente irão resultar somente 1 ou -1.
Veja que, destes, o único que irá resultar 1 (como a nossa última equação está mandando) é a segunda combinação ( 2 - 1). Sendo assim, podemos escrever:
(1) 2 . (-1)m = 2
(2) (-1)m-3n = -1
Vamos desenvolver a equação (1):
2 . (-1)m = 2
(-1)m = 1
Ou seja, isto só irá acontecer quando o "m" for um número PAR.
Desenvolvendo a equação (2):
(-1)m-3n = -1
Isto só irá acontecer quando "m-3n" for um número ímpar. Como "m" já sabemos que é PAR, para "m-3n" resultar ímpar, "3n" deve ser ímpar também (pois um número par subtraído de um número ímpar resulta um número ímpar). Para "3n" ser um número ímpar, devemos ter "n" também ÍMPAR (pois um número ímpar, no caso 3, multiplicado por um número ímpar, resulta um número ímpar).
Então, a resposta final é:
"m" deve ser qualquer número PAR e "n" deve ser qualquer número ÍMPAR.
( IME - 2002 )
(a) Encontre as condições a que devem satisfazer os coeficientes de um polinômio P(x) de quarto grau para que P(x) = P(1-x).
(b) Considere o polinômio P(x) = 16x4 - 32x3 - 56x2 + 72x + 77. Determine todas as suas raízes sabendo-se que o mesmo satisfaz à condição do item acima.
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Resolução item (a)
Sendo P(x) do quarto grau, podemos escrever:
Onde "a", "b", "c", "d" e "e" são os coeficientes do polinômio. Sendo assim, podemos escrever P(1 - x):
Resolvendo as potências:
Efetuando as multiplicações e arrumando os termos:
Para termos , os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois polinômios devem ser iguais. Portanto:
Coeficientes de x3.
-4a - b = b
-4a = 2b
b = -2a
(primeira relação entre os coeficientes)
Coeficientes de x2.
6a + 3b + c = c
6a = -3b
b = -2a
(Esta relação não nos trouxe nada de novo)
Coeficientes de x.
-4a - 3b - 2c - d = d
4a + 3b + 2c = -2d
(segunda relação entre os coeficientes)
Termos independentes.
a + b + c + d + e = e
a + b + c + d = 0
(terceira relação entre os coeficientes)
Portanto, uma possível resposta para o item (a) seria:
b = -2a
4a + 3b + 2c = -2d
a + b + c + d = 0
Como o coeficiente "e" não aparece em nenhuma condição, pode ser qualquer valor.
P.S.: Foi dito "uma possível resposta", pois se você combinar tais equações (isolar valores e substituir), poderá achar relações equivalentes mas com aparência diferente.
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Resolução item (b): P(x) = 16x4 - 32x3 - 56x2 + 72x + 77
Vamos dizer que P(x) possui raízes "r" e "w". Portanto, P(r)=0 e P(w)=0.
Como o enunciado nos diz que P(x)=P(1-x), temos que P(r)=P(1-r), sendo P(r)=0 concluímos que P(1-r)=0.
Então (1-r) também é raiz de P(x).
Pelo mesmo raciocínio temos P(1-w)=0. Então (1-w) também é raiz de P(x).
raízes de P(x)
r 1-r w 1- w
Agora o nosso objetivo na questão é descobrir o valor de "r" e "w", pois daí saberemos o valor numérico de cada raiz (que é o que está sendo pedido). Utilizando as "Relações de Girard" para o produto das raízes e para a soma dos produtos das raízes três a três, teremos:
Produto das raízes
Efetuando as multiplicações:
Colocando em evidência "r" nos dois primeiros termos e "r2" nos dois últimos:
Colocando em evidência o termo (w - w2):
(1)
Soma dos produtos das raízes três a três
Efetuando as "continhas":
Cortando os termos semelhantes:
(2)
Com as equações (1) e (2) teremos o seguinte sistema:
(1)
(2)
Se desenvolvermos este sistema do jeito usual (isolar e substituir), retrocederemos, iremos voltar para o polinômio P(x), ponto inicial de nossa trajetória. Para contornar esta dificuldade, vamos fazer uma jogada de MESTRE agora. Criaremos duas incógnitas auxiliares:
(3) e
(4)
Com estas novas incógnitas, podemos rescrever o sistema anterior:
(1)
(2)
E agora passamos a ter um simples sistema de soma e produto que pode ser resolvido da maneira que você bem entender. Bom, se você chegou até este ponto, a resolução deste sistema não lhe é mistério. Resolvendo acharemos:
Agora, utilizando estes valores na equação (3) e (4):
(3)
4r - 4r2 = -11
4r2 - 4r - 11 = 0
Aplicando Bhaskara, teremos:
Neste ponto você deve estar se perguntando: "Qual valor de r irei usar?". Podes usar qualquer um. Se você escolher o primeiro, então o segundo será o (1-r), e vice-versa. Portanto, estes dois valores são raízes de P(x). (4)
4w - 4w2 = -7
4w2 - 4w - 7 = 0
Aplicando Bhaskara, teremos:
Idem ao quadro ao lado, estes dois valores são raízes de P(x).
As respostas para o item "b" são os valores do quadro acima :-)
Parte 17 - Porcentagem.
Percentagem
Ora, isto todo mundo sabe!!!
Bem, o mais correto é dizer que todo o mundo ouviu falar sobre percentagens. Nossa experiência é que esse é um assunto onde a grande maioria das pessoas, de alunos a até mesmo muito professor, fazem erros grosseiros e usam métodos super-complicados para resolverem os mais simples problemas.
Essa deficiência é indesculpável na medida em que o cálculo de percentagens, muito provavelmente, é o assunto matemático mais útil que se estuda na Escola. É objetivo deste texto ajudar a sanar essa deficiência.
Significado do sinal de percentagem: %
O sinal % é uma mera abreviação da expressão dividido por 100. De modo que, 800 % é a mesma coisa que 800/100, ou seja é o mesmo que que 8 por 1. Ou seja, é a mesma coisa dizermos: 800 % ou 800 por 100, ou 80 por 10, ou 8 por 1, etc.
Examine cuidadosamente as seguintes igualdades:
O cálculo de percentagens compostas ou concatenadas
Estamos falando de situações como a seguinte:
Se a inflação de novembro foi 3% e a de dezembro foi 5%, qual a inflação dos dois meses?
A enorme maioria das pessoas acha que esse tipo de problema resolve-se por soma. Isso é totalmente errado. Problemas deste tipo são resolvidos por multiplicação.Vejamos:
Se no início de novembro, um produto custava p reais, no início de dezembro ele custará p reais mais 3% de p, ou seja, custará p' = p + 0,03 p = 1,03 p.
O novo preço p' terá subido, no início de janeiro, para:
p''= 1,05 p' = 1,05 x 1,03 p = 1,0815 p .
Conseqüentemente, a inflação total foi de 8,15 %.
É simplesmente fundamental que V. entenda isso. Para tal, faça os seguintes problemas, de ordem crescente de dificuldade:
EXERCÍCIO 1
Maria e José ficaram janeiro e fevereiro na praia. Maria engordou 10% em jan e 20% em fev, já José engordou 20% em jan e 10% em fev. Quem engordou mais?
RESPOSTA: sabendo que podemos fazer o produto de dois números em qualquer ordem, sem alterar o resultado, é desnecessário fazer qualquer conta para ver que os dois engordaram o mesmo percentual .
EXERCÍCIO 2
Se nossa Maria tivesse engordado 10% em jan, mas emagrecido 10% em fev, qual o efeito total?
RESPOSTA: pelo que já vimos, espero que V. tenha saído da vala comum da imensa maioria dos vestibulandos, os quais acham que o efeito total é zero ( pois 10 - 10 = 0 ). Claro que não é, pois 1,10 x 0,90 não é 1, mas 0,99 ( ie, Maria emagreceu 1%)
EXERCICIO 3
Se uma caderneta de poupança rende 0,5% ao mês, uma aplicação de 300 reais terá que saldo após 8 meses?
RESPOSTA: V. já sabe que o juro pago não é 8 x 0,5 = 4 % e que então o saldo não é 1,04 x 300 , mas sim :
1,0058 x 300 = 1,040707 x 300 = 312,21
EXERCICIO 4
No custo industrial de um livro, 60% é devido ao papel e 40% a impressão. Sendo que num ano o papel aumentou 259% e a impressão 325%, qual o aumento percentual no custo do livro?
RESPOSTA: 285,4 %
EXERCICIO 5 ( muito importante )
A incidência da malária vinha dobrando a cada 2 anos. Qual o aumento percentual anual equivalente?
RESPOSTA: Indicando por x o percentual procurado, pelo visto acima, em dois anos, o número de “malarientos” passa de M para
M' = ( 1 + x )2 M = 2 M
Tudo o que lhe resta fazer é resolver para x = 0,41 = 41% , aproximadamente.
Aumentos e diminuições percentuais
A rigor já trabalhamos com isso acima, no exercício 2. Examinemos novamente a idéia envolvida, usando exemplo:
Se as vendas de uma empresa aumentaram 20%, então elas passaram de v para v + 0,20 v = 1,20 v.
Se as vendas de uma empresa diminuíram 20%, então elas passaram de v para v - 0,20 v = 0,80 v.
EXERCICIO 6
Se o lucro mensal de uma empresa aumentar e diminuir, alternadamente, 10% ao mês, mostre que no final de um ano o lucro estará em 94% do lucro no início do ano. Conseqüentemente, terá havido uma diminuição anual de 6%.
EXERCICIO 7
A ocorrência do ciclo verão-inverno, ao contrário do que acha a vasta maioria das pessoas, não é governada pela menor ou maior proximidade da Terra em relação ao Sol, mas pela inclinação do eixo de rotação da Terra.
Contudo, pode-se observar que o verão do hemisfério-sul ( HS ) é mais quente do que o verão do hemisfério-norte ( HN ). Para isso aponta-se duas causas:
a distância Terra ao Sol no verão do HS é 4 % menor do que a correspondente distância no verão do HN .
o HS tem mais oceanos
Pede-se: levando em conta apenas a primeira dessas causas, calcular em quantos percentos o verão do HS é mais quente do que o verão do HN.
( NOTA: a partir de perguntas de vários de nossos visitantes, informamos que não está faltando nenhum dado numérico para se resolver este problema! Por outro lado, por "mais quente" queremos dizer "recebe mais energia calorífica" )
RESPOSTA: 8.5 %
EXERCICIO 8
( se V. fizer este, fará qualquer outro! )
Um comerciante tinha 100 Kg de morangos, cujo teor de umidade era 99% e cujo preço era $30 por Kg. Sendo que hoje a umidade baixou para 98%, ele quer saber como remarcar o preço de modo a não ter prejuízo.
RESPOSTA: no fim desta página
Pontos percentuais
A noção de "pontos percentuais", atualmente, é bastante empregada nos meios de comunicação de massa e pelos economistas brasileiros. Seu significado pode ser facilmente entendido a partir de alguns exemplos:
se a inflação subiu de 5% para 10%, podemos tanto dizer que houve um aumento de 100% na inflação como dizer que a inflação subiu cinco pontos percentuais
se o imposto XYZ subiu de 2% para 3%, é a mesma coisa dizer que o aumento foi de 50% e dizer que o imposto subiu um ponto percentual
se a taxa de juros passou de 20% para 50%, esse aumento pode ser descrito como sendo um aumento de 150% ou como sendo um aumento de trinta pontos percentuais.
Exercícios suplementares
EXERCICIO 9
A produção de uma fábrica aumentou de 240 para 312 unidades. Consequentemente, houve um aumento de 30% na produtividade. Pergunta-se:
porque está errado dizer que a produtividade antiga era 70% da atual?
o erro apontado acima é maior quando o aumento de produtividade for um percentual grande ou quando for um percentual pequeno? Por quê?
EXERCICIO 10
Os honorários de uma agência de propaganda são compostos de duas parcelas: o custo de produção ( artistas, filmes, etc ) e uma comissão de 15% sobre o custo de produção. Por sua vez o IR ( Imposto de Renda ) cobra, da agência, um imposto que:
era de 5% do valor da comissão
passou a ser 5% do valor da comissão e mais 5% dos honorários
Pergunta-se:
Que percentual da comissão o IR representava? E agora?
O novo lucro é que percentual do antigo? Isso justifica a gritaria das agências?
RESPOSTAS: 5%, 43.3%, 59.7%
EXERCICIO 11
Na beirada de um jardim circular, foi feita uma calçada circular que aumentou a área do mesmo em 96%. Sendo que a calçada tem 4 metros de largura, pede-se o raio do jardim original.
RESPOSTA = 10 m
EXERCICIO 12
Explique por que o seguinte método funciona se, num restaurante, V. quiser acrescentar uma gorjeta de 15% à despesa D:
Primeiro escrevo o valor D e então movo a virgula decimal de D uma casa para a esquerda e escrevo essa quantidade sobre D. Finalmente, divido essa última quantidade por 2 e escrevo o resultado dessa divisão. O total a pagar é a soma das 3 quantias escritas.
EXERCICIO 13
Um quadrado tem 400 cm2 de área. De qual percentual devemos diminuir seu lado para que a área diminua 20% ?
RESPOSTA: aprox 10.56%
EXERCICIO 14
O último censo do município XYZ mostrou que no mesmo:
as mulheres representam 55% da população adulta
os homens adultos com no máximo escola primária completa representam 80% da população adulta
as mulheres adultas com no máximo escola primária completa representam 90% da população adulta
Que percentual da população adulta do município foi além da escola primária?
RESPOSTA: 14.5%
Parte 18 - Juros simples. Descontos e taxas.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Conceitos básicos
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.
Capital
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
Juros
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
O regime de Juros Simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial. Atualmente as transações comerciais não utilizam dos juros simples e sim o regime de juros compostos. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
Taxa de juros
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
JUROS SIMPLES
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
J = P . i . n
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
A fórmula utilizada para o cálculo dos juros simples é:
J = C . i . n
J = juros
C = capital
i = taxa da aplicação
n = tempo que durou a aplicação
Exemplo 1:
Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$ 600,00, comprometendo a pagar a dívida em 3 meses, á taxa de juros simples de 5% ao mês (a.m).
Para calcularmos os juros a serem pagos, fazemos:
1º) em um mês, os juros são de:
5% de 600,00 = 0,05 x 600 = 30,00
2º) como o prazo é de 3 meses o comerciante deverá pagar:
J = 3 x 30,00 = 90,00
Assim ao final dos 3 meses o comerciante deverá pagar:
600,00 + 90,00 = 690,00
O valor total a ser pago (R$ 690,00) é chamado de montante.
e montante M igual a :
M = C + J = C + C i n → M = C ( 1 + in)
Observação importante: a taxa deve ser sempre compatível com a unidade de tempo considerada. Por exemplo, se a taxa for de 4%a.m., para um prazo de 60 dias adotaremos n = 2 (2 meses).
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
________________________________________
Exercícios sobre juros simples:
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
j = 1200 x 0.195 = 234
2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
Descontos
Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na prática, usa-se sempre o desconto comercial, este será o tipo de desconto a ser abordado a seguir.
Vamos considerar a seguinte simbologia:
N = valor nominal de um título.
V = valor líquido, após o desconto.
Dc = desconto comercial.
d = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Teremos:
V = N - Dc
No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título. Logo:
Dc = Ndn
Substituindo, vem:
V = N(1 - dn)
Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução:
V = 10000 . (1 - 0,05 . 3) = 8500
Dc = 10000 - 8500 = 1500
Resp: valor descontado = $8.500,00; desconto = $1.500,00
Desconto bancário
Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobre operações financeiras.
É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o proprietário do título.
Exemplo:
Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação.
Solução:
Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,,05 . 6 = 30000
Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32750 = 67250
Logo, V = $67250,00
A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m.
Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente favorável ao banco.
Duplicatas
Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:
Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.
Obs:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.
Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para troca-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.
Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de $50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação.
SOLUÇÃO:
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000
IOF = 50000(0,015/360).90] = 187,50
Teremos então:
Valor líquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50
Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60 % a.m.
Resp: V = $42812,50 e i = 5,60 % a.m.
Exercícios propostos:
1 - Um título de $5000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m. , pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.
Resp: desconto = $300,00 e valor descontado = $4700,00
2 - Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a . a., mais IOF de 1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título de reciprocidade, o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para uma duplicata de valor nominal $50000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação.
Resp: 6,06% a.m.
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P . (1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
J = M - P
Exemplo:
Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
Resolução:
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:
log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509
Então M = 6000.1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$9.054,00
Relação entre juros e progressões
No regime de juros simples:
M( n ) = P + n r P
No regime de juros compostos:
M( n ) = P . ( 1 + r ) n
Portanto:
num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética
num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.
Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia .
O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a )
Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im .
O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)12 .
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.
Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12
Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12
Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.
Exemplos:
1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?
Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)2
1 + ia = 1,082
ia = 0,1664 = 16,64% a.a.
2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
1 + ia = (1 + im)12
1 + ia = (1,005)12
ia = 0,0617 = 6,17% a.a.
TAXAS NOMINAIS
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 340% ao semestre com capitalização mensal.
- 1150% ao ano com capitalização mensal.
- 300% ao ano com capitalização trimestral.
Exemplo:
Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:
15/12 = 1,25 1,2512 = 1,1608
TAXAS EFETIVAS
A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 140% ao mês com capitalização mensal.
- 250% ao semestre com capitalização semestral.
- 1250% ao ano com capitalização anual.
Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.
FLUXO DE CAIXA
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo:
Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.
VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO
Na fórmula M = P . (1 + i)n , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value).
Então essa fórmula pode ser escrita como
FV = PV (1 + i) n
Isolando PV na fórmula temos:
PV = FV / (1+i)n
Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.
Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.
Exemplo:
Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês?
Solução:
FV = 1500 . (1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36
Parte 19 - Apêndice
Ensino Médio: Produtos notáveis (33 Identidades)
Quadrado da soma de dois termos
(a+b)² = a² + b² + 2ab
Exemplo: (3+4)²=3²+4²+2×3×4
Quadrado da diferença de dois termos
(a-b)² = a² + b² - 2ab
Exemplo: (7-5)²=7²+5²-2×7×5
Diferença de potências (ordem 2)
a² - b² = (a+b)(a-b)
Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5)
Cubo da soma de dois termos
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Exemplo: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³
Cubo da soma de dois termos na forma simplificada
(a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)²
Exemplo: (4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)²
Cubo da diferença de dois termos
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Exemplo: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³
Identidade de Fibonacci
(a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)²
Exemplo: (1²+3²)(5²+7²)=(1×5-3×7)²+(1×7+3×5)²
Identidade de Platão
(a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)²
Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)²
Identidade de Lagrange (4 termos)
(a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)²
Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)²
Identidade de Lagrange (6 termos)
(a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)²
= (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)²
Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)²
=(1×8-3×7)²+(1×9-5×7)²+(3×9-5×8)²
Identidade de Cauchy (n=3)
(a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b)
Exemplo: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7)
Identidade de Cauchy (n=5)
(a+b)5 - a5 - b5 = 5ab(a+b)(a²+ab+b²)
Exemplo: (1+2)5-15-25=5×1×2×(1+2)(1²+1×2+2²)
Quadrado da soma de n termos
sendo que i
(a+b)²=a²+b²+2(ab)
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)
(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
Cubo da soma de n termos
sendo que i
(a+b)² - (a-b)² = 4ab
Exemplo: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9
Soma dos quadrados da soma e da diferença
(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)
Exemplo: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²)
Soma de dois cubos
a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)
Exemplo: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4)
Soma de dois cubos na forma fatorada
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
Exemplo: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²)
Transformação do produto na diferença de quadrados
ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]²
Exemplo: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]²
Diferença de potências (ordem 4)
a4-b4 = (a-b)(a+b)(a²+b²)
Exemplo: 54-14=(5-1)(5+1)(5²+1²)
Diferença de potências (ordem 6)
a6-b6 = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²)
Exemplo: 56-16=(5-1)(5+1) (5²+5×1+1²)(5²-5×1+1²)
Diferença de potências (ordem 8)
a8 - b8 = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a4+b4)
Exemplo: 58-18=(5-1)(5+1)(5²+1²)(54+14)
Produto de três diferenças
(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)
Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1)
Produto de três somas
(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc
Exemplo: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1×3+3×5+1×5)-1×3×5
Soma de cubos das diferenças de três termos
(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a)
Exemplo: (1-3)³+(3-5)³+(5-1)³=3(1-3)(3-5)(5-1)
Cubo da soma de três termos
(a+b+c)³ = (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (a+c-b)³ + 24abc
Exemplo: (7+8+9)³=(7+8-9)³+(8+9-7)³+(7+9-8)³+24×7×8×9
Soma nula de produtos de cubos por diferenças
a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0
Exemplo: 2³(4-6)+4³(6-2)+6³(2-4)+(2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0
Soma de produtos de cubos com diferenças
a³(b-c)³ + b³(c-a)³ + c³(a-b)³ = 3abc(a-b)(b-c)(a-c)
Exemplo: 7³(8-9)³+8³(9-7)³+9³(7-8)³=3.7.8.9(7-8)(8-9)(7-9)
Produto de dois fatores homogêneos de grau dois
(a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a4+a² b²+b4
Exemplo: (5²+5×7+7²)(5²-5×7+7²)=54+5² 7²+74
Soma de quadrados de somas de dois termos
(a+b)²+(b+c)²+(a+c)²=(a+b+c)²+a²+b²+c²
Exemplo: (1+3)²+(3+5)²+(1+5)²=(1+3+5)²+1²+3²+5²
Produto de quadrados de fatores especiais
(a-b)² (a+b)² (a²+b²)²=(a4-b4)²
Exemplo: (7-3)² (7+3)² (7²+3²)²=(74-34)²
Soma de quadrados de express. homogêneas de grau 1
(a+b+c)²+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=3(a²+b²+c²)
Exemplo:
(7+8+9)²+(7-8)²+(8-9)²+(9-7)²=3(7²+8²+9²)
Identidade de interpolação
Exemplo: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade, obtemos:
FATORAÇÃO EM PRIMOS
O estudo de fatoração em números primos é muito importante para diversas partes da Matemática, mas principalmente para potenciação e fatoração. Por isso colocamos todos estes tópicos juntos.
O que significa fatorar? O que é um fator? Números Primos? :=)
Quando aprendemos a multiplicar (lá nas primeiras séries), também aprendemos o que é um fator.
Cada parte de uma multiplicação tem seu nome:
Fatorar um número nada mais é do que achar uma multiplicação de números que resulte o número a ser fatorado. Exemplos:
Uma fatoração para 4 pode ser 2 • 2
9 = 3 • 3
32 = 16 • 2
90 = 15 • 3 • 2
Todos estes são exemplos de fatoração.
Mas o que nos interessa é a fatoração em números primos.
Fatorar em números primos é achar uma multiplicação de números primos que resulta no número que deseja-se fatorar.
Veja que os dois últimos exemplos, logo acima, não são fatoração em primos, pois 16 e 15 não são números primos. Então aquela fatoração é somente fatoração, e não fatoração em números primos.
NÚMEROS PRIMOS
Número Primo Positivo é todo aquele número que só pode ser dividido pelos números positivos 1 e ele mesmo.
Por exemplo, o número 10 não é primo, pois pode ser dividido por 1, 2, 5 e 10.
O número 5 é primo, pois só pode ser dividido por 1 e por 5.
Os primeiros números primos positivos são:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37...}
Curiosidade: O único número primo positivo que é PAR é o 2. Todos os restantes são ímpares.
Obs.: A qualidade de ser primo é algo que também afeta os números negativos. Apesar de não ser algo muito utilizado nos vestibulares. Para os negativos, dizemos que um número é primo negativo quando só pode ser divido pelos números negativos -1 e ele mesmo. Ou seja, o número -3, que só pode ser dividido pelos negativos -1 por ele mesmo também é primo.
Para fatorar um número em números primos utilizamos um método que foi ensinado a vocês nas primeiras séries do colégio.
Começamos escrevendo o número a fatorar com uma barra vertical ao lado:
Por isso não iremos entrar muito em detalhes. Veja os exemplos abaixo:
81= 3.3.3.3 126= 2.3.3.7 147 = 3.7.7 1365 = 3.5.7.13
Com isso achamos a fatoração em primos destes números:
Número Fatoração
em primos Fatoração em Primos
utilizando Potências
81 3 • 3 • 3 • 3 34
126 2 • 3 • 3 • 7 2 • 32 • 7
147 3 • 7 • 7 3 • 72
1365 3 • 5 • 7 • 13
________________________________________
Agora vamos ver a aplicação de tudo isso na potenciação e radiciação. Veja os exemplos:
Primeiro fatoramos o radicando:
Agora aplicando as propriedades de radiciação:
Portanto,
Referências
BESSA, prof. Edmundo Reis. MATEMÁTICA PASSO A PASSO. PRODUTOS NOTÁVEIS
LISTA 1
1. Calcule a área do retângulo de dimensões 703 e 487.
2. Considere o pentágono ABCDE de lados AB = 7/6; BC = √12 ; CD = 21/20; DE = √27 e EA= √5
a) Calcule o perímetro desse pentágono.
b) Qual é o menor lado?
3. Se | a | = 2, quais são os possíveis valores para a? Represente na reta numérica o conjunto de todos os valores de a que satisfazem à igualdade dada.
4. Em cada caso a seguir, determine todos os valores de x que satisfazem a relação dada e, também, represente na reta numérica todos esses valores de x: a) | x − 3 | = 2 b) | x − 3 | < 2 c) | x − 3 | > 2
5. Determine todas as raízes reais de cada equação a seguir: a) (2x − 3)(4x2 − 9)(x2 + 9) = 0; b) x3 − 5x2 +6x = 0; c) (x2 − 4x + 3)2 = 1. d) x(x − 7)2 = 50x.
6. Determine a para que a distância entre os pontos P = (a, 3) e Q = (5, 6) seja igual a 4.
7. Para dar uma interpretação para o exercício 9, responda às seguintes perguntas:
a) Que figura fica caracterizada pelos pontos da forma P = (a, 3)?
b) Que figura fica caracterizada pelos pontos cuja distância a Q = (5, 6) é igual a 4?
Respostas: 2) b) CD 6) a) 23± b) 0, 2, 3
7) A =1, B = -1, C = 2 8) Não tem solução.
8. Determine os pontos sobre a reta de equação y = 2x − 3 cujas distâncias ao ponto Q = (4, 5) sejam iguais a 257.
12. Determine o centro e o raio da circunferência de equação . Explicite y em função de x e identifique a figura que cada uma dessas funções representa? 036422=−+−+yxyx
13. Determine a equação da reta tangente à circunferência de equação no ponto Q de abscissa 3 sobre essa circunferência e que está no quarto quadrante. 2522=+yx
14. Analise a resolução da equação e diga o que está errado. Sol. . Cancelando o x obtemos . Daí , o que nos fornece as raízes xxxx2)3(2−=−xxxx2)3(2−=−2)3(2−=−xx0232=+−xx213±=x, isto é, 1 e 2.
15. Simplifique: a) 2222−−−xxxx b) hh25)5(2−+ c) 16843−−xx
16. Resolva as desigualdades: a) b) −4x + 7 > 0 c) 0121022<−+−xx03222≤−−−xxx d) 0)1(2.2)1(2222≥−−−xxxxx e) 2xx>+ f) 23412++≥+−xxxx g) 21sen≥x, no intervalo [0, π2] h) 22sen21≤≤x, no intervalo [0, π2]
17. Determine o valor de x no triângulo abaixo.
18. Seja , calcule f(0), f(1) e f(2). ⎩⎨⎧>≤−=1,1,1)(2xsexxsexxf
19. Esboce o gráfico de y = |x − 2| + |x + 6|.
Respostas: 11) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛12,215 e ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2,21 12) centro ()3,2− e raio 4.
13) .643+=xy 16) c ) 21≤<−x e ) x > 2 g ) 676π≤≤πx
h) 46π≤≤πx ou .6743π≤≤πx 17) .14=x 18) ();10=f ();01=f ().42=f
5
20. Encontre o domínio de cada função a seguir: a) 26)3(ln)(xxxxf−−= b) ttth−+=4)(.
21. Expresse a área de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem perímetro igual a 20 cm.
22. Expresse o perímetro de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem área igual a 16 cm2.
23. Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão que tem dimensões 12 cm por 20 cm. Devem-se cortar quadrados de lados x em cada canto do papelão e depois dobrá-los. Expresse o volume da caixa em função de x.
24. Um quadrado está inscrito em um círculo de raio r. Expresse o lado do quadrado em função de r.
25. Determine as coordenadas do ponto da circunferência 221xy+= que está mais próximo do ponto . (4,3)P=
26. Ache o ponto do eixo que é eqüidistante de y(5,5)− e . (1,1)
27. Determine todas as retas que passam pelo ponto (2,3)P= e que são tangentes a circunferência de equação . 224xy+=
28. Os pontos , e (2,2)A=(6,14)B=(10,6)C= são vértices de um triângulo retângulo? Se sim, qual desses pontos é o vértice de ângulo reto?
29. Usando a expressão: área = metade da base vezes a altura, determine a área do triângulo retângulo de vértices , (6,7)A=−(11,3)B=− e (2,2)C=−.
30. Determine a equação da reta em cada situação a seguir. a) A reta passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (−2, 7); b) A reta passa pelo ponto C = (−4, 1) e é paralela à reta de equação 3x − 4y = 1; c) A reta passa pelo ponto C = (3, 1) e é perpendicular à reta de equação 2x + 6y = 1.
Respostas: 20) a) b) .63<
28) Sim; C. 29)241. 30) a) 31334+−=xy b) 443+=xy c) 83−=xy
6
D
C
A
B
31. Na figura ao lado, é um paralelogramo, as coordenadas do ponto C são ( e os lados e estão contidos, respectivamente, nas retas de equações ABCD6,10)ABAD142xy=+ e . Determine as coordenadas dos pontos , 42− y = x AB e . D
32. O triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos (4,0)A= e . Determine as coordenadas do vértice sabendo que ele está sobre a reta de equação . (0,6)B=C4yx=−
33. O número R de respirações por minuto que uma pessoa executa é uma função do primeiro
grau da pressão P do dióxido de carbono ( CO 2 ) contido nos pulmões. Quando a pressão
do CO 2 é de 41 unidades, o número de respirações por minuto é de 13,8; quando a pressão
aumenta para 50 unidades o número de respirações passa para 19,2 por minuto.
a ) Escreva R como função de P.
b ) Ache o número de respirações por minuto quando a pressão do CO 2 for de 45
unidades.
34. Simplifique a expressão até encontrar um número inteiro: . 2log7724log(8+ )
22
ax +bx+c = x+ ⋅ x −x+
35. Suponha que a equação 84 seja válida para todo número real 23558x, em que , b e são números reais. Determine o valor dessas constantes , b e . acac
36. Sabendo que xx2sen1calcule,2−π<<π.
37. Resolva as equações:
(a) 3x + 3− x = 1 (b) 5x – 5− x = 3 .
38. Sem utilizar calculadora, calcule a área do triângulo ABC, sabendo que , 10ABcm=3BCc= m e . o75ˆ=CBA
Respostas: 31) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=7114,732A, ()16,8=B, ()10,6=C, ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=722,718D 32) (13,17 )
33) a) R = 0,6 P - 10,8 b) 16,2. 34) 70. 35) 35=a, 35=b e 6=c.
36) .cosx− 37) a ) não tem solução real. b ) .5ln2133ln⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=x
38) ()2cm134215. +
7
39. Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original diminui aumentando, conseqüentemente, a massa da nova substância transformada. Além disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo 0t= a quantidade de matéria radioativa é igual a 0M, então no instante de tempo a quantidade dessa matéria será igual a 0t≥0()ktMtMe−=, sendo uma constante positiva que depende da matéria radioativa considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante k, é informado o tempo de meia vida da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se desintegre. k
a). Mostre que as constantes e , de uma mesma substância radioativa, estão relacionados pela expressão: kmtln2mkt=.
b) A meia-vida de uma substância radioativa é um ano. Quanto tempo levará para que num corpo puro de 10 gramas desse material reste apenas um grama?
c) Uma amostra de tório reduz-se a 43 de sua quantidade inicial depois de 33.600 anos. Qual é a meia-vida do tório?
40. Lei de resfriamento de Newton: essa lei afirma que em um ambiente com temperatura constante, a temperatura de um objeto no instante t varia de acordo com a expressão: , sendo ()Tt()ktTtACe−−=A a temperatura do meio, C a diferença de temperatura entre o objeto e o meio no instante e uma constante positiva. 0=tk
a) Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30 graus. A água que fervia numa panela, 5 minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65 graus. Quanto tempo depois de apagado o fogo a água atingirá a temperatura de 38 graus?
b) O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia chegou às 23:30 h e imediatamente tomou a temperatura do cadáver que era de 34,8 graus. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1 graus. A temperatura do quarto era mantida constante a 20 graus. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em se deu a morte. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5 graus.
Respostas:
39) b) 3,310log2ln10ln2≈= anos. c ) 5,956.8034ln2ln600.33≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛×anos.
40) a) .min6,152ln435ln5≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛ b) 24,21,148,14ln8,145,16ln≈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛horas antes das 23:30 h, ou seja, aproximadamente às 21:15 h.
8
41. Utilizando um teodolito e uma trena um topógrafo fez as medidas de ângulos e distâncias indicadas na figura ao lado. Calcule a altura da torre indicada nessa figura.
42. Para saber o comprimento de uma ponte que será construída sobre um rio, um engenheiro instalou o teodolito no ponto B a uma distância de 30 metros do ponto A, situado na margem do rio. Depois, mediu os ângulos e , conforme a figura. Com base nas medidas feitas pelo engenheiro, determine o comprimento AC da ponte. o105CAˆB=o30ABˆC=
LISTA 2
1. As idades de duas pessoas estão na razão de 7 para 6. Admitindo-se que a diferença das idades seja igual a 8 anos, calcular a idade de cada uma.
2. Um caminhão vai ser carregado com 105 sacos de batata com 45 kg cada um. Se o peso do caminhão vazio é de 2,8t, qual será o peso do caminhão com a carga?
3. Paulo tinha R$ 1520,00. Ele emprestou 2/5 dessa quantia para seu irmão. Quantos reais sobraram para ele?
4. Sônia coleciona papéis de carta. Sabendo que 2/7 das folhas ela ganhou de sua mãe, 3/5 ela ganhou de suas avós e outras 4 folhas restantes ela ganhou de suas amiga, determine o número de folhas da coleção de Sônia.
5. Sr. Hepaminondas deseja repartir R$ 3330,00 entre seus três sobrinhos em parcelas diretamente proporcionais às suas idades. Sirtônio tem 15 anos, Berfôncio tem 12 anos e Nastélia tem 10 anos. Quantos reais cada um receberá?
6. Obtenha uma fração equivalente à fração 7/10 que tenha a soma de seus termos igual a 561.
7. Um fazendeiro vendeu um boi de 280 kg. Quantas arrobas pesou este boi? Se ele precisasse de 180 arrobas de boi, quantos desses bois ele deveria vender?
8. A chácara do Sr. Raimundo ocupa um terreno retangular que tem as seguintes dimensões: 328 m e 240 m. O Sr. Robério quer comprar a chácara do Sr. Raimundo e está disposto a pagar R$ 8,00 o metro quadrado de terreno. Se o Sr Raimundo resolver vender sua chácara por este preço, qual será o preço total da chácara?
9. O Sr. Hepaminondas tem um bar no qual vende um vinho muito bom. O vinho é vendido em doses de 50 mØ cada uma. Se o tonel de vinho que ele comprou recentemente tem um volume de 28 m¤ (calculando com dimensões internas), responda:
a) Quantas dessas doses o Sr. Hepaminondas conseguirá vender, no máximo?
b) Se ele vender em média 40 doses por dia desse vinho, quantos dias vai durar esse tonel admitindo-se que venderá 50 doses por dia?
10. A soma de três números racionais é igual a 521. O maior número igual ao dobro do menor deles e o outro número tem 5 unidades a mais que o número menor. Qual o valor desses três números?
11. Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus quadrados seja 85.
12. A soma de dois números reais é -15/7 e seu produto é -18/7. Calcule esses números.
13. Ao quadrado de um número você adiciona 7 e obtém sete vezes o número, menos 3. Escreva na forma normal a equação do segundo grau que se pode formar com os dados desse problema.
14. Um número inteiro multiplicado pelo consecutivo dá produto 156. Qual é o inteiro?
15. (E.E. Mauá) Colocando-se 20 selos em cada folha de um álbum, sobram duas folhas; colocando-se 15 selos em cada folha, todas as folhas são ocupadas e ficam sobrando ainda 60 selos. Qual é o número total de selos e o número de folhas do álbum?
16.(Faculdade Oswaldo Cruz) Os funcionários de uma firma decidiram comprar um jogo de camisas de futebol. Se cada um der R$50,00 sobram R$880,00. Se cada um der R$56,00 tem-se total que perfaz o custo de dois jogos de camisa. Quanto custa cada jogo?
17. (Fuvest 90) Duas pessoas A e B disputam 100 partidas de um jogo. Cada vez que A vence uma partida, recebe R$20,00 de B e cada vez que B vence recebe R$30,00 de A.
a) Qual o prejuízo de A se vencer 51 e perder 49 partidas?
b) Quantas partidas A deverá ganhar para ter lucro?
18. (Ufba 96) Uma pessoa retira R$70,00 de um banco, recebendo 10 notas, algumas de R$10,00 e outras de R$5,00. Calcule quantas notas de R$5,00 a pessoa recebeu.
19. (Unicamp 96) Na expressão m = a + 3b - 2c as letras a, b e c só podem assumir os valores de 0, 1 ou 2.
a) Qual o valor de m para a = 1, b = 1 e c = 2?
b) Qual o maior valor possível para m?
c) Determine a, b e c de modo que m = -4.
20. Claudete leu 3/5 de um livro e ainda faltam 48 páginas para ela terminar de ler o livro todo. Quantas páginas desse livro ela já leu? Qual é o total de folhas que tem esse livro?
21. Um número real é tal que o seu quadrado é igual ao seu quíntuplo. Qual é o número real?
22. (Fei 94) O resultado da operação: (x§ - y§)/(x£ + xy + y£) para x=5 e y=3 é igual a:
a) 304 b) 268 c) 125 d) 149
e) 14
23. Subtraindo-se 3 de um certo número, obtém-se o dobro da sua raíz quadrada. Qual é esse número?
a) 2 b) 3 c) 7 d) 9 e) N. D. A.
24. (FUVEST 84) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é:
a) 20g b) 25g c) 35g d) 40g e) 45g
25. (Escola Técnica Federal RJ) A diferença entre os quadrados de dois números inteiros e consecutivos é 47. Desses 2 números o maior é:
a) 23 b) 22 c) 21 d) 25 e) 24
26. (Mack 97) As x pessoas de um grupo deviam contribuir com quantias iguais a fim de arrecadar R$15.000,00 entretanto 10 delas deixaram de fazê-lo, ocasionando para as demais, um acréscimo de R$50,00 nas respectivas contribuições. Então x vale:
a) 60 b) 80 c) 95 d) 115 e) 120
27. (FAAP 95) Uma pessoa investiu 1/2 de seu dinheiro em ações, 1/4 em caderneta de poupança, 1/5 em outro e os restantes R$10.000,00 em "commodities". O total investido foi (em R$):
a) R$ 100.000,00
b) R$ 150.000,00
c) R$ 200,000,00
d) R$ 500,000,00
e) R$ 2.000.000,00
28. (F.G.V.) Se você me der metade de seu dinheiro, terei três vezes mais do que você tinha antes da doação. Juntos, teremos 140,00. Se no contrário eu te desse um quinto do que tenho hoje, eu ficaria com que proporção do que você tem agora, antes de qualquer doação?
a) o quádruplo
b) o triplo
c) a metade
d) o terço
e) o dobro
29. (Universidade São Francisco 97) Na divisão de x por y, ambos números inteiros, obtém-se quociente 9 e resto 6; Se dividindo-se y por 12 são obtidos quociente 6 e resto 9 então x é um número:
a) par. b) primo. c) divisível por 7.
d) múltiplo de 9. e) quadrado perfeito.
30. (FAAP 95) Uma companhia de TV a cabo atende presentemente a "x" residências, cobrando uma taxa mensal de R$38,00 e a "y" residências uma taxa mensal unitário de R$50,00. O preço médio cobrado por residência é:
a) 88xy/(38x + 50y)
b) 88xy/(x + y)
c) 38x + 50y/50
d) (38x + 50y)/(x + y)
e) 38x + 50y/xy
31. (PUCC 96) Os preços cobrados por um digitador por página impressa são:
Somente texto: R$ 1,50
Texto com figuras: R$ 2,50
Ele digitou 134 páginas e cobrou R$250,00 por esse trabalho.
Se t é o número de páginas digitadas só com texto e f com texto e figuras, então é verdade:
a) f = 53 b) t = 80 c) f = 49
d) t = 2f e) f < 30
32. (ESPM) Um colégio de 2°grau tem alunos de 1ª, 2ª e 3ª séries. Na 2ª série, há 200 alunos; na 3ª; 160 alunos e a 1ª tem 40% dos alunos do colégio.
Sobre o número de alunos da 1ª série pode-se afirmar que:
a) é múltiplo de 15 e de 8.
b) é múltiplo de 15 e não de 8.
c) não é múltiplo de 15, nem de 8.
d) não é múltiplo de 15 mas é múltiplo de 8.
e) é múltiplo de 18.
33. (FUVEST 84) Em uma prova de 25 questões, cada resposta certa vale +0,4 e cada resposta errada vale -0,1. Um aluno resolve todas as questões e teve nota 0,5. Qual a porcentagem de acertos desse aluno?
a) 25% b) 24% c) 20% d) 16%
e) 5%
34. (Escola Técnica Federal do Ceará)
Um pai tinha 27 anos quando seu filho nasceu. Hoje, a idade do pai é o quádruplo da idade do filho.
A atual idade do pai é:
a) 40 anos b) 36 anos c) 32 anos
d) 44 anos e)48
35. (Santa Casa 84) A soma de três números naturais consecutivos é um número
a) par b) impar c) primo
d) quadrado perfeito
e) múltiplo de 3
36. (PUC 95) Um feirante compra maçãs de R$0,75 para cada duas unidades e as vende ao preço de R$3,00 para cada seis unidades. O número de maçãs que deverá vender para obter um lucro de R$50,00 é:
a) 40 b) 52 c) 400 d) 520 e) 600
37. (Santa Casa) A diferença entre o cubo de um número real positivo e o seu quádruplo é igual a 45 vezes o seu inverso. O referido número é:
a) divisível por 3. b) divisível por 5.
c) múltiplo de 4. d) múltiplo de 7.
e) múltiplo de 15.
38. (Fac. Oswaldo Cruz) Para fazer certa instalação elétrica necessita-se de dois tipos de fio: o do tipo I custa 3,60 por metro; o do tipo II custa 5,70 por metro. Comprando-se x metros de fio do tipo I e y metros do fio tipo II, o preço total P a pagar será:
a) P = x/3,60 + y/5,70
b) P = 3,60/x + 5,70/y
c) P = 3,6x + 5,7y
d) P = (3,6 + 5,7) . (x + y)
39. O quadrado de um número natural é igual ao seu dobro somado com 24. O dobro desse número menos 8 é igual a"
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
40. (Escola Técnica Federal - RJ)
Dividindo-se o número 59093 sucessivamente por 2, 3, 5, 9 e 10 os restos das divisões serão respectivamente:
a) 0, 2, 3, 6, 3
b) 1, 1, 2, 2, 8
c) 1, 2, 0, 7, 3
d) 1, 2, 3, 8, 3
e) 1, 1, 1, 1, 1
GABARITO LISTA 2
1. 56 anos e 48 anos 2. 7,53 T 3. R$ 912,00 4. 35 folhas 5. R$ 1350; R$ 1080; R$ 900 reais para cada um. 6. 231/330 7. a) Aproximadamente 6 arrobas. b) 30
8. 629.760,00 9. a) 560 b) Aproximadamente 11 dias. 10. x = 258 ; y = 134 ; z = 129 11. 6 e 7 12. 12/14 ; - 42/14 13. x£ + 7x - 21 = 0 14. 12 ou -13. 15. 20 folhas / 360 selos 16. R$1.120,00 17. a) 450 b) no mínimo 61 18. 6 notas
19. a) m = 0 b) m = 8 c) (a, b, c) = (0, 0, 2) 20. 72 e 120 21. Estes números poderão ser 0 ou 5. 22. [A] 23. [D] 24. [C] 25. [E] 26. [A] 27. [C] 28. [E] 29. [C] 30. [D] 31. [C] 32. [A] 33. [B] 34. [B] 35. [E]
36. [C] 37. [A] 38. [C] 39. [C] 40. [D
.jpg)
![[2^24 + 2^30]/65 = x^x](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDK0elX3csGKExdHvk67b1Q-I81hW4kQDloEJ6Z6g5HhUzYzLg8gybPtqIEwsIHEC2Z3paYRXuRyfaR3sL_EhVE2HAPAHy28-0QClNe8M0ShpLM0ixm-BRK5sqm-kbnJDAUeqHE9sfNEYP3Y7UbCZ87CtsZ0adG5yAc5kwxCo3LnJCDr33oM98C-XUV4d2/w100/Blog%20do%20Professor%20Janildo%20-%20Copia.png)
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4 Comentários
5² x² - 3 =1
ResponderExcluir25x² - 3 + 3 = 1 + 3
25x² = 4
25x²/25 4/25
x² = 4/25
x = + ou - 2/5
16 elevado a x multiplicado por 4 elevado a x +3 subtraido por 8 elevado a x+2=0 responda por favor
ResponderExcluir16^x * 4^(x +3)- 8 (x+2) = 0
ExcluirPassemos a utilizar a base 2 comum em todos os coeficientes:
Como:
16 = 2^4
4 = 2^2 e
8 = 2^3
Temos:
2^4x * 2^2(x +3)- 2^3(x+2) = 0 ==> na multiplicação de números com mesma base e nós conservamos a base e somamos o expoentes.
Assim temos:
2^[4x + 2(x +3)]- 2^3(x+2) = 0
2^[4x + 2x + 6]= 2^(3x + 6)
Como temos a mesma base, nessa igualdade, logo teremos que os expoentes também serão iguais.
Desa forma temos:
4x + 2x + 6 = 3x + 6
Subtraindo 6 em ambos s lados da igaldade temos
4x + 2x + 6 -6 = 3x + 6 - 6
6x = 3x
Logo
x = 0
QSL?
16^x * 4^(x +3)- 8 (x+2) = 0
ResponderExcluirPassemos a utilizar a base 2 comum em todos os coeficientes:
Como:
16 = 2^4
4 = 2^2 e
8 = 2^3
Temos:
2^4x * 2^2(x +3)- 2^3(x+2) = 0 ==> na multiplicação de números com mesma base e nós conservamos a base e somamos o expoentes.
Assim temos:
2^[4x + 2(x +3)]- 2^3(x+2) = 0
2^[4x + 2x + 6]= 2^(3x + 6)
Como temos a mesma base, nessa igualdade, logo teremos que os expoentes também serão iguais.
Desa forma temos:
4x + 2x + 6 = 3x + 6
Subtraindo 6 em ambos s lados da igaldade temos
4x + 2x + 6 -6 = 3x + 6 - 6
6x = 3x
Logo
x = 0
QSL?